Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
В практических вычислениях мы будем обычно сохранять только первый или два первых неисчезающих для данного взаимодействия члена в выражении (6.33) для 5-матрицы. Насколько это правомерно, зависит от малости взаимодействия V и быстроты сходимости данного ряда по степеням константы взаимодействия.
Общим свойством 5-матрицы, которое следует из сохранения вероятности, является унитарность. Из вводных замечаний к гл. 1 мы помним, что из эрмитовости гамильтониана вытекает сохранение вероятности. Поэтому скалярное произведение не зависит от времени и мы имеем
d3x ф*.4-1* (х) гЫ.+ ) М = lim \ d3x гЫ+)* [х) гК+) (х) =
1 ' <->-«> J '
= Пт ( d3xq}Ux)q>.(x) = bn. (6.35)
В частности, для плоских волн
6!i = 63(ki-ki).
Мы также можем вычислить это скалярное произведение в далеком будущем, и тогда, согласно (6.16) и условию полноты (6.27) для функций ф, решения допускают разложение по плоским волнам с элементами 5-матрицы в качестве коэффициентов разложения:
lim i]i<+) (О = Z %(x')sni> (6-36)
t'-b+GQ П
где Y ^ d3p для представления плоских волн
П
Подставляя (6.36) в левую часть (6.35), находим
Z SniSnj = б„ (6.37)
П
или, в матричных обозначениях, 5+5 = 1.
94
МЕТОД ФУНКЦИИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ
[ГЛ. в
Если, подобно ф„ в (6.36), функции t(5(.+)(x) образуют полный набор, то 5+ = S-1 и мы приходим к выводу об унитарности S-матрицы').
§ 23. Функция распространения в теории позитрона
Теперь мы обобщим рассмотренный в рамках нерелятивистской теории метод функции распространения на случай релятивистской теории электрона. Отправным пунктом нам послужит представление о нерелятивистском пропагаторе G(x'\x) как амплитуде вероятности распространения волны-частицы из х в х'. Эта амплитуда, определяемая выражением (6.11), является суммой амплитуд, п-й член которой есть произведение величин, изображенных на диаграмме рис. 6.4. На этом рисунке каждая линия соответствует амплитуде G0(Xi, jCf—1) свободного распространения волны, испущенной в точке Х{-1 до точки х{. В точке лс* (обозначаемой кружками) эта
волна рассеивается с амплитудой вероятности V (Х{) на единицу объема в четырехмерном про-
странстве-времени и превращается в новую волну, распространяющуюся с амплитудой Go (дс,-+1; х{) вперед во времени до следующего взаимодействия. Затем полученная таким способом амплитуда суммируется по всем точкам в пространстве-времени, в которых может произойти взаимодействие. Можно сказать, что взаимодействие в i-й точке,
или вершине, уничтожает частицу, дошедшую до точки х{, и
создает частицу, которая распространяется до точки jicj+i, где
U+l U-
Такую картину мы сохраним и в дираковской теории дырок. Она хорошо соответствует релятивистской теории, поскольку описывает процесс одновременно в пространстве и во времени, в противоположность гамильтонову формализму, в котором упор делается на временном ходе процесса. Наша цель состоит в том, чтобы по аналогии с нерелятивистским методом функции
Рис. 6.4.
Вклад га-го порядка в G (х, х').
') Если имеются связанные состояния, то сумма в (6.27) должна включать дискретный спектр. Это никак не влияет на доказательство унитарности.
S 23] ФУНКЦИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ В ТЕОРИИ ПОЗИТРОНА
распространения получить правила расчета различных процессов в дираковской теории дырок. Однако задача осложняется существованием процессов рождения и аннигиляции, которые также должны быть включены в описание. Основное правило, которым мы будем руководствоваться в такой ситуации, состоит просто в том, что вычисления с пропагатором должны согласовываться с динамикой уравнения Дирака, общими постулатами, сформулированными в гл. 1, и поправками, внесенными в них при обсуждении позитронов в гл. 5. В этой и последующих главах мы будем полагаться больше на интуитивные соображения, чем строгие выводы1).
Рис. 6.5. Примеры пространственно-временных диаграмм в теории позитрона. Диаграмма (а) отвечает рождению пары, (б) — рассеянию и (в) — замкнутой
петле.
Посмотрим на картинки типичных процессов, описываемых в теории позитронов. Помимо процессов рассеяния типа изображенного на рис. 6.4, имеется еще рождение пар и аннигиляция, иллюстрацией которых служит рис. 6.5. Диаграмма 6.5, а
') Строгий вывод этих правил дается в систематическом, но сложном изложении формальной квантовой теории поля в цитированной выше книге [50].
96
метод Функции распространения
[ГЛ. 6
изображает рождение электрон-позитронных пар в потенциале, действующем в точке 1; две частицы затем распространяются до точек х и х' соответственно. Диаграмма 6.5,6 изображает электрон, распространение которого начинается в точке х и заканчивается в х'. Между этими точками потенциал в точке 1 рождает пару; позитрон из этой пары аннигилирует с первоначальным электроном в поле, действующем в точке 3; электрон из пары распространяется до точки 2, где он разрушается потенциалом. Этот потенциал рождает электрон, достигающий х'. На диаграмме 6.5, в показано рождение пары в точке I и распространение ее до точки 3, где происходит аннигиляция в поле.
