Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бьёркен Дж.Д. -> "Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика" -> 34

Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.

Бьёркен Дж.Д., Дрелл С.Д. Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика — М.: Высшая школа, 2003. — 297 c.
Скачать (прямая ссылка): relyativiskayakvantovayateoriya2003.pdf
Предыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 > 35 36 37 38 39 40 .. 113 >> Следующая


В практических вычислениях мы будем обычно сохранять только первый или два первых неисчезающих для данного взаимодействия члена в выражении (6.33) для 5-матрицы. Насколько это правомерно, зависит от малости взаимодействия V и быстроты сходимости данного ряда по степеням константы взаимодействия.

Общим свойством 5-матрицы, которое следует из сохранения вероятности, является унитарность. Из вводных замечаний к гл. 1 мы помним, что из эрмитовости гамильтониана вытекает сохранение вероятности. Поэтому скалярное произведение не зависит от времени и мы имеем

d3x ф*.4-1* (х) гЫ.+ ) М = lim \ d3x гЫ+)* [х) гК+) (х) =

1 ' <->-«> J '

= Пт ( d3xq}Ux)q>.(x) = bn. (6.35)

В частности, для плоских волн

6!i = 63(ki-ki).

Мы также можем вычислить это скалярное произведение в далеком будущем, и тогда, согласно (6.16) и условию полноты (6.27) для функций ф, решения допускают разложение по плоским волнам с элементами 5-матрицы в качестве коэффициентов разложения:

lim i]i<+) (О = Z %(x')sni> (6-36)

t'-b+GQ П

где Y ^ d3p для представления плоских волн

П

Подставляя (6.36) в левую часть (6.35), находим

Z SniSnj = б„ (6.37)

П

или, в матричных обозначениях, 5+5 = 1.
94

МЕТОД ФУНКЦИИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ

[ГЛ. в

Если, подобно ф„ в (6.36), функции t(5(.+)(x) образуют полный набор, то 5+ = S-1 и мы приходим к выводу об унитарности S-матрицы').

§ 23. Функция распространения в теории позитрона

Теперь мы обобщим рассмотренный в рамках нерелятивистской теории метод функции распространения на случай релятивистской теории электрона. Отправным пунктом нам послужит представление о нерелятивистском пропагаторе G(x'\x) как амплитуде вероятности распространения волны-частицы из х в х'. Эта амплитуда, определяемая выражением (6.11), является суммой амплитуд, п-й член которой есть произведение величин, изображенных на диаграмме рис. 6.4. На этом рисунке каждая линия соответствует амплитуде G0(Xi, jCf—1) свободного распространения волны, испущенной в точке Х{-1 до точки х{. В точке лс* (обозначаемой кружками) эта

волна рассеивается с амплитудой вероятности V (Х{) на единицу объема в четырехмерном про-

странстве-времени и превращается в новую волну, распространяющуюся с амплитудой Go (дс,-+1; х{) вперед во времени до следующего взаимодействия. Затем полученная таким способом амплитуда суммируется по всем точкам в пространстве-времени, в которых может произойти взаимодействие. Можно сказать, что взаимодействие в i-й точке,

или вершине, уничтожает частицу, дошедшую до точки х{, и

создает частицу, которая распространяется до точки jicj+i, где

U+l U-

Такую картину мы сохраним и в дираковской теории дырок. Она хорошо соответствует релятивистской теории, поскольку описывает процесс одновременно в пространстве и во времени, в противоположность гамильтонову формализму, в котором упор делается на временном ходе процесса. Наша цель состоит в том, чтобы по аналогии с нерелятивистским методом функции

Рис. 6.4.

Вклад га-го порядка в G (х, х').

') Если имеются связанные состояния, то сумма в (6.27) должна включать дискретный спектр. Это никак не влияет на доказательство унитарности.
S 23] ФУНКЦИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ В ТЕОРИИ ПОЗИТРОНА

распространения получить правила расчета различных процессов в дираковской теории дырок. Однако задача осложняется существованием процессов рождения и аннигиляции, которые также должны быть включены в описание. Основное правило, которым мы будем руководствоваться в такой ситуации, состоит просто в том, что вычисления с пропагатором должны согласовываться с динамикой уравнения Дирака, общими постулатами, сформулированными в гл. 1, и поправками, внесенными в них при обсуждении позитронов в гл. 5. В этой и последующих главах мы будем полагаться больше на интуитивные соображения, чем строгие выводы1).

Рис. 6.5. Примеры пространственно-временных диаграмм в теории позитрона. Диаграмма (а) отвечает рождению пары, (б) — рассеянию и (в) — замкнутой

петле.

Посмотрим на картинки типичных процессов, описываемых в теории позитронов. Помимо процессов рассеяния типа изображенного на рис. 6.4, имеется еще рождение пар и аннигиляция, иллюстрацией которых служит рис. 6.5. Диаграмма 6.5, а

') Строгий вывод этих правил дается в систематическом, но сложном изложении формальной квантовой теории поля в цитированной выше книге [50].
96

метод Функции распространения

[ГЛ. 6

изображает рождение электрон-позитронных пар в потенциале, действующем в точке 1; две частицы затем распространяются до точек х и х' соответственно. Диаграмма 6.5,6 изображает электрон, распространение которого начинается в точке х и заканчивается в х'. Между этими точками потенциал в точке 1 рождает пару; позитрон из этой пары аннигилирует с первоначальным электроном в поле, действующем в точке 3; электрон из пары распространяется до точки 2, где он разрушается потенциалом. Этот потенциал рождает электрон, достигающий х'. На диаграмме 6.5, в показано рождение пары в точке I и распространение ее до точки 3, где происходит аннигиляция в поле.
Предыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 > 35 36 37 38 39 40 .. 113 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed