Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 4.2. Нижние уровни энергии атома водорода. Схема изображена без
соблюдения масштаба.
точечной частицей). Используя тождество V Х(1 X V) = = IV2— (l-V)V и тот факт, что для сферически-симметричной волновой функции
W/-4 »<;?*,
получаем 2
В 3 SP 2Мр \ d3r' Р ^ IV2 (4л I г - г' I ) — 3 gP 2Мр Ip ^•
64
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФОЛДИ — ВАУТХАЙЗЕНА
[ГЛ. 4
Тогда для сдвига уровня по нерелятивистской теории имеем
По сравнению с тонкой структурой оно в т/Мр раз меньше.
Велтон [43] предложил простое качественное описание смещения Лэмба, основанное на рассмотрении взаимодействия нерелятивистского электрона с вакуумными флуктуациями электромагнитного поля. Поскольку динамика нормального колебания электромагнитного поля эквивалентна динамике гармонического осциллятора, то после квантования каждое нормальное колебание приобретает «нулевую энергию», равную ю/2. В результате этого квантового эффекта флуктуирующие электромагнитные поля имеются, даже если внешнее поле отсутствует. Хотя средние значения напряженностей поля равны нулю, их среднеквадратичные значения отличны от нуля. Взаимодействие электрона с этим полем приводит к среднеквадратичным флуктуациям координаты электрона. Нам надо оценить амплитуду тгких «качаний» связанного электрона. Как мы выяснили при рассмотрении дарвиновского члена (4.7), они приводят к появлению у электрона добавочной энергии взаимодействия. Эта энергия возникает за счет «размазывания» действующего на электрон кулоновского поля и равна 7в((бг)2)V2V. В наиниз-шем порядке соответствующий сдвиг уровня электрона есть
Чтобы оценить ((бг)2), будем считать электрон классической нерелятивистской заряженной частицей. Уравнение движения для колебаний электрона вокруг равновесного положения имеет вид
где Е — флуктуирующее электромагнитное поле. Для фурье-ком-понент имеем
Далее
+ 7г Для триплетных состояний,
— 3/2 для синглетных состояний.
Таким образом, расщепление 6„ «-го уровня равно
A?Lamb _ 1
'/б ((бг)2) \ d3r i|)*V2F (г) !>„ = Za ((бг)2) | (0) |2. (4.16)
еЕа
mat2
АТОМ ВОДОРОДА
65
Отсюда для среднеквадратичных значений получаем ((6г )2)= е2^?°)2'> -
\\vra! / т2ш4
и
((brf) = -^\^r(El). (4.17)
Для определения среднеквадратичной напряженности рассмотрим полную энергию вакуумного поля
А.-1 k
где два значения % отвечают двум поперечно-поляризованным состояниям, а сумма по k распространяется на все колебания в некотором большом объеме пространства
Li = \dh,
k
Поскольку для свободных электромагнитных волн ^ d3xE2 =
= ^d3xB2 и со = | к |, среднеквадратичная напряженность поля в вакууме равна
(е2) = ± \ d3x Е2 = 2\ d3k - J- = J dv со3 = J dm <?*).
Подстановкой последнего звена этой цепочки равенств в (4.17) находим
<4Л8>
где интегрирование производится от 0 до оо. Вследствие того, что наше рассмотрение электрона является слишком грубым, интеграл расходится на обоих пределах. Этого не происходит при правильном релятивистском описании электрона, локализованного в атоме водорода. Волны, длина которых больше воровского радиуса (Zam)~l, оказываются несущественными, так как имеется минимальная частота вынужденных колебаний comm ~ mZa, отвечающая характерным атомным размерам. Происходит также высокочастотное обрезание на расстояниях порядка комптоновской длины волны электрона 1/т, обусловленное релятивистской структурой электрона. Эта структура, которой отвечает уже знакомая нам амплитуда «дрожания», приводит к тому, что частоты выше, чем ©шах ~ гп, несущественны для рассматриваемого процесса. Поэтому в качестве оценки
66
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФОЛДИ — ВАУТХАПЗЕНА
ГГЛ. 4
мы примем
(das .
_ I П __
Za
Sdas . — ~ In-?0
и из (4.18) получим для среднеквадратичной амплитуды колебаний электрона в поле вакуума
«*»-?0-&(4-)*- <*•«>
Окончательное выражение для сдвига уровня, получаемое из (4.16), имеет вид
~ 1000 Мгц для п = 2, 2 = 1, 1 = 0.
В итоге мы объяснили почти весь наблюдаемый на опыте сдвиг уровня 2Si/2 атома водорода; сдвиги уровней с I ф 0 хотя и не равны нулю, однако значительно меньше из-за обращения в нуль волновой функции в начале координат.
ЗАДАЧИ
1. Получите соотношение (4.10).
2. В уравнении Дирака, описывающем взаимодействие протона или нейтрона с внешним электромагнитным полем, имеется дополнительный член, отвечающий тому, что эти частицы обладают аномальным магнитным моментом:
(# - еИ + -Щ7 - "О +'<*) = °>
где /r,iv — тензор электромагнитного поля
= JL- А»А*.
