Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
f da,
J 2ji to — (p2/2m) + is
— OO
2m ' -e (/'_/) =
10 (/' — t)^ d3p <pp (x\ t') ф*0 (x, t), (6.26)
§ 22] ФУНКЦИЯ ГРИНА 91
строить полный набор нормированных решений уравнения Шредингера, который удовлетворяет условию полноты
Et(x', 0<(х,/) = б3(х-х'), (6.27)
П
где Yi обозначает как сумму, так и интеграл по непрерывному
П
спектру, то функция
G (х'\ х) = — /0 (/' — /) Е (*') Ф* М (6.28)
П
удовлетворяет уравнению (6.22) с требуемым граничным условием. Выражение (6.26) для G0 получается отсюда как частный
случай, если учесть, что для непрерывного спектра IH d3p.
П
Из вида выражений (6.26) и (6.28) следует, что та же самая функция Грина, которая описывает развитие решения уравнения Шредингера в прямом направлении во времени, описывает развитие комплексно-сопряженного решения в обратной временной последовательности. Умножая (6.28) на i|)m(x), интегрируя по х и используя ортонормированность собственных функций, мы вновь приходим к уравнению (6.17):
i ij d3x G (x') x) (x) = 0 (/' — /) v|)n (x') ij d3x г|/ (x) (x) =
П
= 0 (/' — I) l|>m (*')•
Проделаем ту же операцию, но только умножая на (х') и интегрируя по х'. Получим
i jj d3x' г|4 (х') G (х'; х) = 0 (/' — 0 г|4 (л:). (6.29)
Мы используем эти соотношения для получения различных полезных представлений 5-магрицы.
Из (6.17) и определения (6.16) можно получить компактное выражение для 5-матрицы через точный пропагатор:
S., = i lim lim ^ d3x' d3x {x') G (x'; x) ф, (л:). (6.30)
' <'-> oo J '
Однако такая запись еще не приносит пользы, поскольку мы, вообще говоря, не умеем находить точный пропагатор. Из (6.28)
Эта формула напоминает выражение, получаемое в теории броуновского движения для вероятности того, что частица, находившаяся в точке х в момент времени /, под влиянием случайных воздействий достигнет точки х' в момент времени Единственное отличие состоит в замене (/, /') на (—it, —it'). Та же самая замена переводит уравнение Шредингера в уравнение диффузии.
92 МЕТОД ФУНКЦИИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ [ГЛ. 6
ясно, какая богатая информация заключена в G(x';x). В G(x'\ х) с равными весами входят все решения уравнения Шредингера, включая те, которые отвечают связанным состояниям. Поэтому нет ничего удивительного в том, что найти G очень трудно.
Поступим так же, как мы действовали, когда из интуитивных соображений получали равенство (6.11). Тогда мы воспользовались методом итераций, начав с функции Грина для свободной частицы.
Записав Н в виде Н = Н0 + V, перегруппируем члены в уравнении (6.22):
[г -?г - Н0 (*')] G (х'\ х) = б4 (х' -x) + V (х') G (*'; х) =
= J d*x" б (х' - х") [б4 (х" -x) + V (х") G {х"; х)]. (6.31)
В правой части в член, содержащий взаимодействие, мы ввели 6-источник. Тогда интеграл в (6.31) можно выразить через свободный пропагатор и в итоге мы получим
G (х'\ х) = ^ d4x" G0 (х'\ х") [б4 (х" -x) + V (х") G (х"\ jc)] =
= G0(*'; х) + J d4x" G0 (x'i х") V (х") G (х"\ х), (6.32)
что согласуется с (6.12). Подставляя (6.32) в (6.30) и используя равенства (6.17) и (6.29) для свободных частиц, имеем
Sfi = ^Зл:ф* (х)ц.{х) Ч-^m ^ dAxx Лф| (л:,) V (л:,) G (*,; х)ц1(х) =
= б„ Ф;(1)У(1)Фг(1)-
- i J d% d% q>; (1) V (1) G„ (1, 2) V (2) ф, (2) -
- / J d\ d\ d\q*f (1) V (1) G0(1,2) V (2) G0(2,3) V (3)Ф< (3) +... (6.33)
Этот ряд многократного рассеяния почленно совпадает с рядом, получаемым из (6.16). Как и (6.16), его можно просуммировать, воспользовавшись решением точного уравнения Шредингера. Для этого заметим, что в первом звене равенств (6.33) можно, обратившись к (6.17) и выключив взаимодействие, записать
lim \ сРх G (х"\ х) ф,- (х) = lim \ d3x G (х"\ х) i(',- (jc) = — п|з, (л").
f-> — ^ t~y~oo J
ФУНКЦИЯ ГРИНА
93
Тогда уравнение (6.33) переходит в
Sfl = 6f. - i J d*x" ф; (*") V (x") ф<+> (х"), (6.34)
где есть решение, которое при t" —*—оо переходит
в свободную волну (см. (6.14)):
Ч><+> (*") = Фг (х") + J d*x Gq (*"; х) V (х) Ц>'+> (*).
Уравнения (6.34) вместе с (6.14) и (6.30) вместе с (6.32) являются эквивалентными формами записи 5-матрицы; оба эти
представления приводят к ряду многократного рассеяния (6.33).
