Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
(4.15)
Положив в (4.14) п=1 и /=72, получим энергию основного уровня
Е0 — т У1 — Z2а2 « т — '/2Z2a2m — '/8Z4a4m + .. .
Выпишем также отвечающие этому уровню нормированные волновые функции со спином вверх и спином вниз
4>n-It/_Vl,*('’, 0- Ф) =
(2 mZa)'h V 4я
V
1 + V
2Г(1 +2V)
(2mZar)v
-I g~mZar
cos0 е‘ф sin 0
л-1,
(г, 0, ф) =
= (W^l / 1+v (2mZar)
V4л V 2Г (1 +2V)
y—\g—mZar
1
О
-v)
Za
t'U -v)
Za
0
1
Za
-<(1 - У)
Za
¦ COS0
где у == V1—Z2a2. В нерелятивистском пределе у~>1> (1—y)/Za-*-0 и эти функции переходят в шредингеровские волновые функции, умноженные на двухкомпонентные спиноры. В релятивистском случае при г—>0 функции имеют слабую сингулярность вида (2mZar)-<Z!a!>/2, которая становится существенной лишь на расстояниях
г ~ 1 л—2/Z!a’
' 2mZa е
Если Za 33: 1, то величина у мнимая и решения при 0 осциллируют; это явление напоминает нам о парадоксе Клейна. При этом исчезает «щель» между решениями с положительной и отрицательной энергией и мы снова не можем придать решению физический смысл.
62
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФОЛДИ - ВАУТХАЙЗЕНА
[ГЛ. 4
Уровни энергии, задаваемые формулой (4.14), принято обозначать, как в нерелятивистском случае, т. е. посредством орбитального момента I, фигурирующего в и полного момента /. В таблице мы приводим несколько первых уровней.
Уровни п 1 / Еп1
1SV2 1 0 7а т Vl --- Z2a2
2Sy2 2 0 '/2 ^д/'+Vl-Z^
2РЧ, 2 1 ‘/2 mV1+Vl_Z2a2
2/Ч 2 1 3/2 л/4 - Z2a2
Уровни 2Si/2 и 2Ру2 вырождены, будучи собственными состояниями с противоположной четностью, отвечающими одному и тому же значению пи/. Уровень 2 Р^, расположен выше, чем 2Pyj; разность энергий между ними, равная [m(Za)4/32](l + 0( (Za)2) + ...), представляет собой энергию тонкой структуры. Тонкая структура есть следствие спин-орби-тального взаимодействия (4.6). Из формулы (4.15) видно, что чем больше / при заданном п, тем выше лежит уровень.
Как согласуются эти предсказания с наблюдаемым на опыте спектром атома водорода? До 1947 г. согласие с опытом было вполне удовлетворительным (с учетом сверхтонкого расщепления, обусловленного взаимодействием спина электрона со спином протона). Однако в 1947 г. измерение тонкой структуры атома водорода, произведенное Лэмбом и Резерфордом1), подтвердило возникшее еще раньше подозрение в том, что уровень 2Si/2 сдвинут вверх относительно уровня 2Рч2 (рис. 4.2). Это так называемое смещение Лэмба, которое снимает вырождение уровней с одинаковыми значениями / и п, но разными I, происходит благодаря взаимодействию электронов с флуктуациями квантованного поля излучения. Имеются очень точные измерения и расчеты как сверхтонкого расщепления, так и лэмбовского смещения; согласие теории с экспериментом хорошее [41].
Сверхтонкая структура возникает благодаря взаимодействию протона с магнитным моментом электрона [42] (см. также [37]). В результате каждый уровень расщепляется на две компоненты
Ссылки на последующие работы можно иайти в [37, 40].
АТОМ ВОДОРОДА
63
в соответствии с двумя возможными значениями полного момента атома. Этот момент складывается из полного момента электрона / и полуцелого спина протона. Найдем энергию сверхтонкого расщепления для S-состояний. Для этой цели оказывается достаточным нерелятивистское описание электрона. Взаимодействие имеет вид
«' = + Йг"-в.
где
в=^Г^УР<г'>тХ(1ХТ)4„|г-'г7-|'.
здесь 1 — оператор спина протона (Iz = ±1/г), а р(г')—плотность магнитного момента протона (мы не считаем протон
Е
-
js*= jS:z==z
L Малое расщеплет/в (за cvem мэмдовс/гога сдвига)
ZP3/г ZpVz
9<гГ/г________________’ Т Тонкая структура (стн-ардитальное
! 1 f взаимодействие)
\
‘Лэмдовский сдвиг
1S‘A
(триплетныи)-
"^-(ситетшй)-
j- Сверхтонкое расщепление
