Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Прежде всего мы замечаем, что для перехода от (5.1) к (5.2) необходимо изменить относительный знак членов i'V и А. Этого проще всего добиться путем операции комплексного сопряжения: id/dx^ = — (id/dx1)* и Лц= + Лд. В результате уравнение (5.1) переходит в
[(i'^+e^)Y*‘+mb*==0- (5-3)
Если бы теперь мы смогли найти несингулярную матрицу, обозначаемую Су0, подчиняющуюся алгебре
(Су°)у**(Су°Г' = - Г,
(5.4)
72
ТЕОРИЯ ДЫРОК
[ГЛ. 5
то уравнение приобрело бы желаемый вид
(5.5)
есть волновая функция позитрона Существование матрицы С может быть установлено прямым построением. Покажем это в представлении (2.6), в котором Y° — YM'T> так что равенство (5.4) превращается в Су^тС-1 = —или
В этом представлении матрица С должна коммутировать с yi и у3 и антикоммутировать с уо и уг- Подходящей является матрица
Этого достаточно для построения матрицы С в любом заданном представлении; матрица С в новом представлении получается из
(5.6) с помощью унитарного преобразования, осуществляющего переход от одного представления к другому. Заметим, что оператор С (5.6) определен с точностью до фазового множителя, подобно рассмотренному ранее оператору пространственной инверсии. Для нашего рассмотрения фаза волновой функции не представляет физического интереса и мы не будем заниматься этим вопросом.
Теперь мы подробно остановимся на действии введенного оператора \|)с = Сф1, = iy2\|)* на собственные функции свободной частицы с отрицательной энергией. Волновая функция покоящегося электрона с отрицательной энергией и спином вниз имеет вид
С_У*С = — \*т.
/-» . 2 0 /¦>—1 /",-Ь __ Г>Т
С = i Y Y = — ^ ^ ~ — с .
(5.6)
Соответствующее решение для позитрона есть
(5.7)
ЗАРЯДОВОЕ СОПРЯЖЕНИЕ
73
Таким образом, отсутствие покоящегося электрона с отрицательной энергией и спином вниз эквивалентно присутствию покоящегося позитрона с положительной энергией и спином вверх. Если внешнего поля нет, то нет и никакой разницы между электроном и позитроном и из (5.7) мы видим, что путем преобразования (5.5) просто получается другое электронное решение.
Применяя то же преобразование к собственному состоянию с произвольными спином и импульсом и используя условия [С, y5] = 0 и Yf = Y5 = Y5, находим
= Сф = СУо'Ф* = Суо (^г-У V =
= (5-8)
Снова мы видим, что произведение операций комплексного сопряжения и матричного умножения на Су0 = iy2 переводит решение с отрицательной энергией, 4-импульсом р^ и поляризацией s|х в решение с положительной энергией и теми же самыми ру. и Sp,. Для спиноров, отвечающих свободным частицам, равенства (5.5) имеют вид
е1ф <p>s)y (pt s) = Сйт (р, s), е1ф (р’ s)U(p, s) = CvT (р, s).
Отсюда видно, что v(p, s) и u(p,s) являются зарядово-сопряженными спинорами (с точностью до фазы 4>(p,s)).
Напомним, что мы строили решения так, что
Ро = + Vj°2 + ш2 = Е > О-
Заметим также, что s не меняет знак при зарядовом сопряжении, а спин меняет знак, в чем мы убедились на примере (5.7). Как уже говорилось в § 10, эта разница связана с тем, что спиновый проекционный оператор имеет в системе покоя вид (1 + Yo о- s/2), где s»1 =(0, s) и изменение знака происходит за счет матрицы yo-
Оператор в равенстве (5.5) осуществляет явное построение волновой функции позитрона. С его помощью можно ввести такую операцию, относительно которой уравнение Дирака инвариантно. Для этого требуется определить добавочный оператор, изменяющий знак электромагнитного поля. Тогда формально дираковская теория будет инвариантна относительно следующей последовательности операций: 1) комплексное сопряжение,
2) умножение на Су0 и 3) замена на —Ац. При этом уравнение (5.1) ((5.2)) для электрона (позитрона) переходит в то же самое уравнение для позитрона (электрона). Это преобразование называется зарядовым сопряжением и обозначается С.
74
ТЕОРИЯ ДЫРОК
Ггл. 5
Физический смысл зарядового сопряжения состоит в том, что каждому физически реализуемому состоянию электрона в поле Ау.(х) отвечает физически реализуемое состояние позитрона в поле —Таким образом, операция С заменяет электроны с положительной энер1ией и спином вверх на позитроны с положительной энергией и спином вверх. Это достигается путем преобразования решений с положительной энергией уравнения
(5.1) в решения с отрицательной энергией этого же уравнения, что согласно теории дырок означает переход к позитрону.
То, что динамика позитрона в поле — в точности такая же, как электрона в поле +/4Й, неудивительно из классических соображений. Новый и удивительный результат теории дырок состоит в том, что из существования электронов с массой т и зарядом е с необходимостью следует существование позитронов с той же массой m и зарядом —е.
