Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
dxv дХц
а) Для протона i = р, еР — |е|; для нейтрона i = п, еп = 0. Проверьте, что значения кр = 1,79 и к„ = —1,91 отвечают наблюдаемым магнитным моментам этих частиц, а также то, что уравнение с добавочным взаимодействием по-прежнему лоренц-ковариантно. Убедитесь в том, что гамильтониан эрмитов и вероятность сохраняется.
б) Проделайте преобразование Фолди — Ваутхайзена для нейтрона, сохранив члены того же порядка, что в (4.5). Укажите физический смысл каждого отдельного члена. Найдите сечение рассеяния нейтронов в электростатическом поле. Как можно измерить это сечение? (См. [44].)
3. Найдите точные уровни энергии и волновые функции для дираковского электрона в однородном статическом магнитном поле (см. [45]).
4. Рассчитайте в наинизшем по а2 приближении линейный эффект Зеемана для электрона в атоме водорода. Как изменятся зеемановские уровни, если гиромагнитное отношение для электрона станет отличным от значения g = 2 (дать ответ в первом порядке по разности g— 2)?
8АДАЧИ
Ъ7
5. Обсудите прецессию спина заряженной дираковской частицы с аномальным магнитным моментом к в статическом магнитном поле. В частности, покажите, что разность между частотами прецессии спина частицы и ее вектора скорости пропорциональна (g — 2) или к. Как этот результат зависит от массы частицы? (См. работы [46].)
6. Постройте добавочный член в гамильтониане, отвечающий аномальному электрическому дипольному моменту дираковской частицы. Что произойдет с этим членом при пространственной инверсии? Как он повлияет на уровни атома водорода? (См. [47].)
7. За счет мезонных эффектов (обсуждаемых в гл. 10) заряд протона распределен по области с линейными размерами 10-13 см. Найдите влияние такого распределения заряда на уровни энергии водородного атома, считая среднеквадратичный радиус распределения равным г « 0,8-10~13 см. Сравните результат с лэмбовским сдвигом.
ГЛАВА 5
ТЕОРИЯ ДЫРОК
§ 16. Проблема решений с отрицательной энергией
В нашем изложении мы уже не раз касались решений уравнения Дирака с отрицательной энергией. Например, была найдена доля таких решений в локализованном волновом пакете. Однако до сих пор мы старались избегать вопроса об их физическом смысле [48, 49]. Теперь наступила пора заняться этой проблемой.
Сам факт существования решений с отрицательной энергией требует существенного пересмотра дираковской теории, поскольку надо запретить радиационные переходы электронов с атомных уровней в состояния с отрицательной энергией и дальнейший ничем не ограниченный каскад. Эта трудность отсутствует, если полностью пренебречь взаимодействием электронов с полем излучения. В этом случае можно найти стационарные решения, как было сделано в предыдущей главе; определить уровни энергии и вероятности перехода, которые в целом хорошо согласуются с экспериментом. Однако вопрос о том, как удержать электрон от скатывания в состояние с отрицательной энергией, остается принципиальным как для теории, так и для практических вычислений, если их надо выполнить с точностью, требующей учета взаимодействия с излучением. Вероятность перехода электрона из основного состояния атома водорода в состояние с отрицательной энергией может быть найдена с помощью полуклассической теории излучения с использованием полученных в гл. 4 волновых функций. Вероятность перехода в энергетический интервал от —тс2 до —2тс2 приближенно равна
2ав тс2 , _8 ,
~-------г— « 108 сек-1
я п
и становится бесконечной для переходов на все состояния с отрицательной энергией. Но это явный абсурд!
ПРОБЛЕМА РЕШЕНИЙ С ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ЭНЕРГИЕЙ
69
Чтобы спасти уравнение Дирака, мы должны найти интерпретацию состояний с отрицательной энергией, отличную от той, которую предлагает одночастичная шредингеровская теория. Эта задача была решена Дираком в 1930 г. Он сформулировал так называемую «теорию дырок», в которой дилемма, поставленная существованием решений с отрицательной энергией, разрешается просто путем заполнения электронами всех состояний с отрицательной энергией в соответствии с принципом запрета Паули. Тогда состояние вакуума есть состояние, в котором все уровни с отрицательной энергией заполнены электронами, а все уровни с положительной энергией свободны. Тем самым, например, обеспечивается стабильность основного состояния атома водорода, поскольку согласно принципу Паули ни один добавочный электрон не можег попасть в «море» с отрицательной энергией.
Из предположения о заполненном электронами море с отрицательной энергией вытекает множество следствий. Электрон с отрицательной энергией может поглотить излучение и перейти в состояние с положительной энергией, как схематически показано на рис. 5.1. В результате мы будем наблюдать электрон
Незанятые
состояния
ш//ш\
Занятые
состояния
Е
-\тсг
-О
-тсг
Злектрон
УШф/ШШ.
