Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
<6V) = < V (г + 6г)> - < V (г)) = ^6г ^ + 1 ? 6rt 6г, «
r2V2K«-^V2V, (4.7)
что качественно совпадает с дарвиновским членом.
§ 15. Атом водорода 1)
Перейдем к рассмотрению решений уравнения Дирака, отвечающих связанным состояниям, и в первую очередь найдем уровни энергии электрона в кулоновском поле. Уравнение Дирака для электрона в кулоновском поле имеет вид
#iJ)==[a-p-fPm-fl/ (г)] -ф = ?ij), (4.8)
где V{r)=—Za.tr. Для разделения переменных воспользуемся тем, что угловой момент частицы в центральном поле сохраняется. Действительно, оператор J = L + S = г X р + V20 коммутирует с гамильтонианом (4.8), и поэтому можно построить собственные функции, отвечающие определенным собственным значениям Я, /2 и Jz. Для нахождения этих функций обратимся к нашему опыту работы с матрицами Паули и вспомним, что в представлении, использованном в гл. 3, матрица
/а О Л
°Г'~ (о а)
диагональна при условии, что ее элементами считаются матрицы Паули размерности 2X2. Поэтому, если выразить \|) через двухкомпонентные спиноры
¦-О-
*) Задача о движении электрона в кулоновском поле была впервые решена. в работах [36].. Подробное рассмотрение применений уравнения Дирака в атомной физике и соответствующие ссылки можно найти в книгах [37, 38].
АТОМ ВОДОРОДА
59
то угловые переменные в ф и х отделяются точно так же, как в двухкомпонентной теории Паули. Угловая часть двухкомпонентных решений является собственной функцией J2, /г, L2 и S2 и может быть двух типов.
При/=/+72 _________
Ф(+) = W. тп
При / = I — У2
/ 1 + У2 + m
Л/ 2/+ 1
/\J- '^2 — m
Ym~lh 11
jm+'k
21 +
Ф/Г« =
V1
+ 1/*'
vm-11
-V.
21 + 1
ym + 'h
(4.9a)
(4.96)
/, -m>
где фаза шаровых функций задана условием У* т = (— а решения ф(-> существуют только при / > 0. Оба эти решения удовлетворяют следующим уравнениям на собственные значения:
^ = ;(У + 1)Ф/т,
L?-3А)ф?> =
где
-(/+1) = -(/+'/2), + I = + (} + ’/2),
¦0+*)ф^,
/ — / + Чъ i = i — V2-
При заданном / решения ф(+)
/т
Ф/т
обладают противоположной четностью, поскольку отличаются на единицу по /. Они могут быть получены друг из друга с помощью нечетного скалярного оператора. Этот оператор должен быть линейной комбинацией функций УТ(0, ф), так как он меняет значение / на 1 и потому должен быть пропорциональным г. В нашем распоряжении имеется единственный псевдовектор о, и, пользуясь им, мы строим псевдоскаляр а-г/г. Далее находим
Ф<+> = т/т
а. г
(4.10)
Общее решение для центрального поля при заданных j и m можно представить в виде
/ iG+ iGT
' -Гф}т+-Г Ф$т
¦ф/ш —
€0
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФОЛДИ — ВАУТХАИЗЕНА
[ГЛ. 4
Это решение можно разбить на два, каждое с определенной четностью. Поскольку потенциал V{r) инвариантен по отношению к пространственной инверсии, собственным функциям можно наряду с определенными значениями / и т приписать также определенную четность. Пользуясь этим свойством, мы построим четные и нечетные решения; при преобразовании х' ——х они ведут себя следующим образом:
г|/(х') = РФ(х) = ± i|>(x'). (4.11)
Эти решения даются формулой
LG,
V
Т/М
где введены обозначения
-74.
ф!
г г ^!т
(4.12)
UG/+’ / = / + '/2;
'lor, j=i-42, 1 ft,
. (г-
Ф'т 1фг». i:
i + !k,
I-1/2,
и использовано равенство (4.10). В соответствии с (4.11) четность этих решений равна (—1)г. Для получения из (4.8) уравнений для радиальных функций воспользуемся следующими тождествами:
a'P)lTL(fjm =
= V- (т ¦r w +ia •L) ^Ф/- =
В итоге имеем следующие уравнения для радиальных функций:
dFu (г)
( Za\ dGn (г) к
[Е + т + — J F„ (г) = + + т G„ (г).
(4.13)
Решения этих уравнений, отвечающие связанным состояниям, можно найти обычными методами [36—38]. Мы приведем лишь некоторые результаты.
Уровни энергии даются выражением
г ( Za \2-|-'/«
§ 15]
АТОМ ВОДОРОДА
61
в котором квантовое число п = 1, 2, оо пробегает целые положительные значения, а угловой момент изменяется в пределах от 0 до /+ У2 jg: п, причем должно быть выполнено условие —1. Разлагая (4.14) в ряд по степеням (Za)2,
мы убеждаемся в том, что число п соответствует главному квантовому числу в нерелятивистской теории
?.-"•{1 - Т (тттГ - i)] + 0 «г“»} •
