Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
отвергнут в гл. 1, с той, однако, существенной разницей, что теперь в наше рассмотрение включены решения с отрицательной энергией.
§ 14. Общее преобразование
Обратимся теперь к общему случаю, когда электрон находится в заданном внешнем электромагнитном поле, и найдем соответствующий оператор S. Гамильтониан имеет вид
здесь О — а • (р — еА), <% = еФ и рО — —Ор, р<§? — р.
Входящие в (4.2) внешние поля, а следовательно, и сам гамильтониан могут зависеть от времени. Преобразование S тоже, вообще говоря, зависит от времени, поэтому невозможно построить оператор S, который удалял бы из гамильтониана нечетные операторы во всех порядках, как в (4.1). Мы довольствуемся разложением преобразованного гамильтониана в степенной ряд по 1/т, сохранив в разложении члены вплоть до имеющих порядок (кинетическая энергия/m)3 и (кинетическая энергия) (энергия поля)/т2.
Преобразование, как и прежде, вводится равенством
Р
т
Н = а • (р - ек) + pm + еФ = fim + О + ; (4.2)
§ 14J
ОБЩЕЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
55
Далее имеем
1 ¦Jte~iS'^' = Н^ = He-iSy|/ = e-‘s (г + (i e“iS) V-
Таким образом,
Оператор S разлагается в ряд по степеням 1/т, следовательно, в нерелятивистском пределе он «мал». Поэтому выражение, стоящее в квадратных скобках, можно разложить в ряд, построенный из многократных коммутаторов, используя для этого следующее соотношение1):
Поскольку S = 0(l/m), то с требуемой точностью имеем
Начнем построение S с рассмотрения членов нулевого порядка малости по 1/т:
Мы требуем, чтобы выражение (4.3) не содержало нечетных операторов. Руководствуясь результатом, полученным для свободной частицы, положим S = —i$0/2m. Тогда с требуемой
’) Чтобы убедиться в справедливости этого разложения, рассмотрим
e+‘sHe-is = я + i [S, Н] + [S, [S, Н]] +
... +-^[S, [S, .... [S, Н] ...]] + ...
H' = H + i[S, H]-±[S, [S, H]]-±[S, [S, [S, //]]] +
+ [S, [S, [S, [5, #]]]] - S -1 [S, S] + j [S, [S, S]].
(4.3)
oo
(a)
rc=0
Отсюда последовательно получаем
и
= [5i [5> [5; H]
Результат подставляем снова в (а) и полагаем Я = 1.
56
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФОЛДИ - ВАУТХАЙЗЕНА
[ГЛ. 4
точностью получим
^[S, Н\ = -0 + ^[0, S\ + ^Р<?2,
i is, IS, Н]] = -Jg- - W, [0,«\\- ^0>.
?[s,[s, [S, Я]]] = ^-в^РС»,
?[s, [S, [S, [S, Н]]]]-^-,
_ о I 10
^ "Г" 2т ’
-if5’ S]=-^[0, &}.
Собирая вместе все члены, имеем
tf'=f>(m + sr-+ v>- gH-TSr№’ C'] +
+ ъг1<7^1-т& + #“Р'» + г' + с"- <«>
Члены с нечетными операторами (они обозначены посредством О') имеют в (4.4) порядок 1/т. Чтобы еще повысить их порядок малости, проделаем второе преобразование Фолди—Ваут-хайзена, пользуясь тем же самым рецептом:
В результате преобразования получим
Н" = eiS' (//' - * -J-) е-«' =pm + «Г + JL [O', +
= pm + <Г + <?",
где O’" — величина порядка О (1/т2). Наконец, с помощью третьего канонического преобразования
о// . - W ° 2т
можно избавиться и от О'. Окончательно получаем Н'" = els" (я" - i-|-) e~iS" = pm + <Г =
“Р(т + ?-^) + #-8у[с'.1с'. Я-
ОБЩЕЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
57
Вычисляя произведения операторов с нужной нам точностью, находим
Таким образом, в рассматриваемом приближении гамильтониан имеет вид
Каждый отдельный член в (4.5) имеет четкий физический смысл. Выражение в квадратных скобках является разложением
с требуемой точностью; этот член учитывает релятивистскую зависимость массы от импульса. Следующие два члена дают энергию электрического заряда и магнитного диполя во внешнем поле. Четвертый и пятый члены, взятые вместе, являются эрмитовыми; их можно отождествить с энергией спин-орбитального взаимодействия. Они имеют привычный вид, если электрическое поле центрально-симметричное. Тогда rot Е=0 и
Этот результат согласуется с классическим. Действительно, если перейти в систему, в которой частица покоится, возникает магнитное поле В' = — v X Е, в котором энергия взаимодействия будет равна
У(р — еА)2 + т2
Таким образом, эти два члена сводятся к
Язрт-огЬЙ — -4^5- г дг О • L.
(4.6)
58
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФОЛДИ — ВАУТХАЙЗЕНА
(ГЛ. 4
Однако соответствующий член в (4.5) имеет лишний множитель V2 («томасовская половинка»). Появление этого множителя указывает на то, что гиромагнитное отношение для магнитного момента электрона, связанного с орбитальным движением, имеет обычное значение g=l.
Наконец, последний член, известный под названием дарвиновского, можно связать со шредингеровским «дрожанием». Поскольку координата электрона испытывает флуктуации на рас-стояних порядка б/- — 1 tm, электрон «чувствует» несколько «размазанный» кулоновский потенциал; поправка составляет
