Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, любой спинор характеризуется импульсом рц, знаком энергии и поляризацией в системе покоя s^0'.
§ 10. Проекционные операторы для энергии и спина
Для практических вычислений удобно иметь операторы, которые осуществляют проектирование на спинор с заданным знаком энергии и поляризацией. Эти проекционные операторы являются четырехмерными аналогами нерелятивистских двумерных операторов
Р = 1 ±
У± 2
проектирующих произвольное состояние на состояния со спином вверх и спином вниз.
Пусть задано некоторое решение уравнения Дирака в виде плоской волны с импульсом р. Мы ищем четыре оператора, которые выделяют из этого решения четыре независимых решения, отвечающих положительной и отрицательной энергии и двум значениям проекции спина на заданное направление. Желательно, чтобы эти операторы были записаны в ковариантной форме; тогда мы сможем без труда переходить из одной лорен-цевой системы в другую, что очень важно в практических расчетах.
Четыре проекционных оператора обозначаются символами Pr(p) = P(Pix, «2, е) и по определению обладают следующими свойствами:
Pr(p)wr' (р) = 6„'W' (р), или, что то же самое,
Я,(р)Л.'(р) = в„'Л.(р). (3.17)
42
РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА ДЛЯ СВОБОДНОЙ ЧАСТИЦЫ [ГЛ. 3
Оператор, проектирующий на состояния с положительной и отрицательной энергией и данным импульсом р, можно получить сразу в ковариантной форме непосредственно из уравнения (3.9а). Обозначим его посредством
Аг(р)=-4^
либо
= (3-18)
Используя равенство рр = р2 = тс2, можно убедиться в том, что тс2 (1 + егегЛ + тср (е, + е,Л / 1 + е,е,, \
лг (р) лг' (р)=—*—rr;mV u—rJ-=(—^-) аг ip\
т. e.
Л+ (p) — A+ (p), A+ ip) A_ (p) = 0.
Отметим также равенство
Л+ {p) + A_ (p)= 1.
Аналогичные спиновые операторы проще всего получить в системе покоя, а затем попытаться придать им ковариантный вид. В качестве оператора проектирования на состояние со спином вверх естественно взять (1 +az)/2. Для того чтобы в двумерном спиновом операторе (l+ofz)/2 избавиться от явной зависимости от направления z, его переписывают в виде следующего скаляра:
1 + or • uf 2 ‘
Для придания дираковскому спиновому проекционному оператору скалярной формы используем 4-вектор u^0)tl и запишем
1 + 1 + y5Y 3“*0) Ч 1 + Y540)Yo
Это выражение можно преобразовать к ковариантному виду, исключив матрицу уо- В системе покоя действие матрицы у0 на дираковский спинор сводится к умножению на ±1. Принимая во внимание (3.14) и (3.15), получаем следующее выражение для дираковского инвариантного спинового проекционного оператора:
2(^=1+^,
или, для произвольного 4-вектора спина s^, удовлетворяющего условию sv-p^ — 0,
2(5) = -Ц^!_. (3.19)
§ 10J ПРОЕКЦИОННЫЕ ОПЕРАТОРЫ ДЛЯ ЭНЕРГИИ И СПИНА 43
В системе покоя имеем
2 («<?>) да1 (0) = 1 +1^г~ да1 (0) = ——¦¦¦ да1 (0) = w1 (0) (3.20)
и
2 (- uf) w>- (0) = да2 (0).
Аналогично для спиноров с отрицательной энергией
1 _ V 0® 1 -I- V
2 (- u!f) да3 (0) =----да3 (0) = - V25 * v° i^3 (0) =
= -Ц^ш3(0) = ш3(0) (3.21)
и
2 («(?>) (0) = ш(4) (0).
Для спиноров и ии, определенных согласно (3.16), эти равенства выглядят так:
2(иг)и(р, иг) = и{р, иг),
2 (иг) v (р, uz) = v (р, иг),
2 (— иг) и (р, иг) = 2 (— иг) v (р, иг) = 0.
Вследствие ковариантности проекционного оператора 2 для любого вектора поляризации (s^p^ = 0) можно записать
2 (s)u(p, s) = u(p, s),
2 (s)v(p, s) = v(p, s), (3.22)
2 (— s) и (p, s) = 2 (— s) v (p, s) = 0.
Имея в своем распоряжении четыре проекционных оператора Л±(р) и 2(±s), мы можем полностью характеризовать движение свободной частицы ее 4-импульсом р^, знаком энергии е и поляризацией s^, причем s^p^ = 0. Для этого мы построим из (3.18) и (3.19) четыре проекционных оператора:
Л (р) = Л+ (р) 2 (иг), Р3 (р) = Л_ (р) 2 (- иг),
Р2 (Р) = Л+ (р) 2 (- иг), Р4 (р) = Л_ (р) 2 (иг).
Заметим, что для векторов, удовлетворяющих условию sM'p|X = 0>
[2 (s), Л±(р)]=0,
поскольку р антикоммутирует как с ys> так и с s. Следовательно, построенные операторы Рг(р) удовлетворяют определению (3.17).
Мы будем очень часто обращаться к этим операторам для получения приемов быстрого и эффективного счета. Они позволяют пользоваться свойствами полноты и тем самым избавляют
44
РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА ДЛЯ СВОБОДНОЙ ЧАСТИЦЫ [ГЛ. 3
