Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
+ d* (р, s) и (р, s) е+<р%/*]. (3.30)
Нормировка снова производится на единичную вероятность. В результате несложных вычислений получаем
^ d3x (х, 0 ф (х, t) = ^d3p [| b (р, s) |2 + | d, {р, s) |2] = 1.
± S
А
<+)
d3p d3p' тс2
(2яй)3 л/Ш'
ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ РЕШЕНИЙ
47
Поток для такого пакета равен')
/* = J d3p | Yj 11b (P> s) I2 +1 d (P. s) I2!
+ i ^ b*(—p, s')d*(pf s)e2ix°p‘,hU(—p, s') akov (p, s) —
± S, ± s'
— i ^ b(— p, s') d (p, s) e-2ix‘P<>IHv (p, s') akou (— p, s) 1. (3.31)
± s, ± s' )
Кроме независящей от времени групповой скорости, в этом выражении появились перекрестные члены между решениями с положительной и отрицательной энергией, которые быстро осциллируют во времени с частотой
2р^_>2пи1 = 2. Ш2, ceK-i'
Эти быстрые осцилляции, или «дрожание» («zitter-bewegung» [32]), пропорциональны амплитуде, с которой входит в пакет решение с отрицательной энергией. Пока в нашем изложении мы еще не выяснили физический смысл этих решений, однако можно задаться вопросом, когда следует ожидать присутствия этих решений в пакете со значительной амплитудой. Из общего вида решения для свободной частицы видно, что поскольку величины b(p,s) не зависят от времени, то в отсутствие внешнего воздействия в волновом пакете, первоначально построенном только из решений с положительной энергией, не появятся компоненты с отрицательной энергией. Однако пакет, описывающий электрон, так или иначе локализованный в конечной области в начальный момент времени, содержит, вообще говоря, решения с обоими знаками энергии.
Рассмотрим, например, решение
т|з(г, 0, s) = {nd2) '* e~',2rVd!w' (0), (3.32)
которое отвечает гауссовскому распределению плотности вокруг начала координат с полушириной ~d в момент времени t = 0. В любой последующий момент времени t это решение может быть представлено в виде пакета (3.30) с коэффициентами b и
’) Несмотря на некоторую непоследовательность, мы везде будем пользоваться обозначением
и (Vр2 + т2 , — р, s) = и (— р, s)
и аналогичными обозначениями для коэффициентов разложения b, d* и т. д.
48
РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА ДЛЯ СВОБОДНОЙ ЧАСТИЦЫ [ГЛ. 3
d*, задаваемыми своими начальными значениями при t = О, т. е.
S1I[s (р’s) “s}e"'"“+
+ d* (р, s) v (р, s) e_!pr/*] = (nd2) u e~'krVd'w' (0). Производя преобразование Фурье и используя
оо
5 d^e-rmdlen-rlh = (2ndT-e~',m\
— оо
получаем
д/sи (Р- + d*Р> sv Р’ s'^ =
± S
-{^-У'е-'^wHO).
Из соотношений ортогональности (3.11) находим
b{p,s) = J^f (JL)% e-W№u+ (р, s) ш> (0),
.__5- 2 (3.33)
d* (- Р, s) = д/^- (^)V‘ e-m*v+ (_ р> s) ш, (0).
Таким образом, амплитуда решения с отрицательной энергией d* в пакете (3.32) отлична от нуля. По отношению к амплитуде решения с положительной энергией Ь она подавлена как верхняя, или «малая», компонента и по отношению к верхней, или «большой», компоненте и, т. е. по порядку величины в pd (Е + + тс2) раз. Отсюда ясно, что амплитуды решений с отрицательной энергией существенны при значениях импульса ~тс. Однако из (3.33) видно, что пакет сформирован в основном из состояний с импульсом р "с< Ь/d. Поэтому для того, чтобы вклад состояний с отрицательной энергией стал существен, пакет должен быть локализован в области с размерами, сравнимыми с комптоновской длиной волны электрона, т. е. ’) с d ~ Ь/тс.
Этот результат можно получить из размерных соображений с помощью соотношения Ар Ах ~ Ь, не пользуясь гауссовской формой распределения. Когда речь идет о задачах, где электрон «размазан» по области, много большей его комптоновской длины волны, можно вообще не принимать во внимание существование решений с отрицательной энергией и тем не менее надеяться получить обладающие физическим смыслом и довольно точные результаты. Такое приближение становится непри-
¦) Понятие пространственной координаты дираковского электрона с положительной энергией обсуждается в работе [33].
ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ РЕШЕНИЙ
49
менимым, если электрон локализован в области с размерами порядка Ь/тс. При этом амплитуды решений с отрицательной энергией делаются существенными, в токе возникают «дрожащие» члены и мы сталкиваемся с такими парадоксами и дилеммами, разрешить которые в рамках развитой нами теории ди-раковского электрона оказывается невозможным. Знаменитым
Рис. 3.1. Потенциальный барьер, удерживающий электрон с энергией Е
в области I слева.
.т
Vo
Л /\ /“\
WV -Е
/ //
z
Рис. 3.2. Электростатический потенциал, представленный для простоты стенкой с резким краем, на которую из области I падает движущаяся вправо свободная электронная волна с энергией Е. При V0> Е + тс2 отраженный от потенциала поток превосходит падающий; это один из примеров парадокса
