Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Клейна.
примером такого рода трудности является парадокс Клейна [34], который можно пояснить на следующем примере.
Чтобы локализовать электроны, мы должны создать сильное внешнее поле, удерживающее их в заданной области. Предположим, например, что мы хотим удержать свободный электрон с энергией Е в области / слева от точки начала координат г —0 в одномерном потенциале, изображенном на рис. 3.1. Если мы потребуем, чтобы электрон не проникал в область //, лежащую правее точки z = О, глубже, чем на расстояние d, то потенциал V должен на интервале z .<; d быстро возрастать до значения Vo > Е\ тогда решение будет в области II спадать с характерной длиной <^d. Все будет происходить так, как в шредингеровской теории, до тех пор, пока интервал, на котором
50
РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА ДЛЯ СВОБОДНОЙ ЧАСТИЦЫ [ГЛ. 3
мы хотим удержать электрон, не сожмется до размеров а разность VQ — Е не превысит величины тс2.
Чтобы понять, что произойдет далее, рассмотрим потенциал с резким краем, изображенный на рис. 3.2, и вычислим отраженный и прошедший поток для электрона (с волновым вектором k\ и спином, направленным по оси z), налетающего слева на область действия этого потенциала. Решения с положительной энергией для падающей и отраженной волн в области / имеют вид
%
__ aeikiz
1
о
ckth
\
Е + тс2 0
/ 1
о
ijjref = be~ik'* ______ ck\ti
\
Е + тс2 0
/
+ Ь'е-
ik\Z
\
0
1
о
ckih
V Е + тс2 J
(3.34)
Прошедшая волна представляет собой решение уравнения Дирака в постоянном внешнем потенциале еФ = V0. Оно отличается от решения для свободной частицы лишь заменой ро = = (1/с) (Е— У0), поэтому в области II имеем
\2 2 4 ( г? 2
тс = [?-'"•
h2k\c2 = {E-
VoY
Следовательно, прошедшую волну с Е > 0 можно записать как 1
0
chk 2
тс — У0) (Е + тс2 — У0)-положительной энергией
Л
ib = deik‘¦*
Ttrans
F0 + тс2 0
+ d'e
lk:z
/
0
1
о
— chk2
\
(3.35)
Е — V0 + тс2 /
Амплитуды d и d' определяются из условия непрерывности решения на границе потенциала, которое в свою очередь следует из сохранения потока. Имеем
а + b = d,
k2 Е + тс2
а — Ь-Ь'--
' ki E-V0 + тс2 d~~rd'
¦ d' = 0 (переворота спина не происходит).
(3.36)
тс2 волновой вектор в области II
При V0 > 0 и \Е— V01 <
чисто мнимый: k2 = +1'|&2| и решение в этой области представляет собой затухающую экспоненту с характерной длиной затухания d > Ь/тс. Если мы, однако, захотим уменьшить глубину
ЗАДАЧИ
51
проникновения электрона в область 11 и увеличим высоту потенциального барьера, сделав его выше, чем Vo = Е + тс2, прошедшая волна станет осциллирующей. Нетрудно вычислить прошедший и отраженный ток. Получаем
Хотя по форме эти результаты напоминают предсказания нерелятивистской теории, следует заметить, что поскольку Vo > Е + -f- тс2, то, согласно (3.36), г < 0.
Мы получили результат, противоречащий нашим обычным представлениям: прошедший поток оказался отрицательным, а отраженный поток больше падающего. Что представляет собой поток в области II, который на рис. 3.2 направлен справа налево из области II в область /?
В надежде локализовать решение внутри интервала, равного комптоновской длине волны электрона Ь/тс, мы сделали потенциальный барьер выше, чем Е + тс2, но в итоге получили не затухающее, а осциллирующее решение. Как следует понимать это явление? Его можно понять, только выяснив физический смысл решений с отрицательной энергией. Из рассмотрения волновых пакетов ясно, что решения с отрицательной энергией существенны, когда частица локализована в области размером Я/тс. С другой стороны, из приведенного примера видно, что именно на таких растояниях наша физическая картина перестает соответствовать действительности.
Мы займемся разрешением этих вопросов, начиная с гл. 5. Прежде обратимся к широкой (хотя и ограниченной) области физических явлений, в которых приложенные поля являются слабыми и медленно меняются в масштабе, где единицей длины служит величина Ь/тс2, а единицей энергии — величина тс2. Мы надеемся найти здесь множество разнообразных применений уравнения Дирака и теории электрона с положительной энергией.
