Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Re Га(3 = а (Гц- ч = 2^v> [^д/дх^ - т] Ъ (*) = 0.
т. е. уравнение Дирака не содержит мнимых коэффициентов.
ГЛАВА 3
РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА
ДЛЯ СВОБОДНОЙ ЧАСТИЦЫ
§ 9. Плоские волны
Мы убедились в том, что дираковская теория лоренц-кова-риантна и для решений с положительной энергией имеется разумный переход к нерелятивистскому пределу.
Для более глубокого понимания физической природы решений уравнения Дирака надо рассмотреть уравнение для свободной частицы. Четыре решения для частицы в покое даются формулами (1.24), которые можно переписать в следующем виде:
В представлении (1.17) для матриц Дирака входящие сюда спиноры равны
Первая пара решений описывает две спиновые степени свободы электрона, подчиняющегося уравнению Паули. Другой паре решений (г — 3, 4) с отрицательной энергией еще предстоит дать физическую интерпретацию. Все четыре решения являются собственными функциями оператора ст2 == cti2 с собственными значениями + 1 и —1. Решения для свободной частицы с произвольной скоростью можно получить с помощью преобразования Лоренца (2.10). Переходя к системе координат, движущейся со скоростью —v относительно системы, в которой электрон по-
г|>г (х) = wr (0) е-(игтоЧН) \ г = 1, 2, 3, 4, (3.1)
где
(3.2)
ПЛОСКИЕ волны
37
коится, мы получим волновую функцию свободного электрона, движущегося со скоростью +v.
Для того чтобы явно выразить зависимость от 4-радиус-вектора частицы, надо записать входящую в (3.1) экспоненту в инвариантной форме:
( тс2 \ ( р^х'1 \ ( pILx'v \
ехр \ — iEr—t) = ехр ier J = ехр ierJ , (3.3)
где x= a»xv
и /?>* = a»pv (0) = a»mc; мы будем везде пользо-обозначением р° = Е/с = + д/р2 + т2°2 > О- ПРИ с°б*
ваться
ственных преобразованиях Лоренца и пространственном отражении решения с положительной и отрицательной энергией преобразуются независимо, не перепутываясь друг с другом. Это видно из выражения (3.3), поскольку 4-импульс свободной частицы времениподобен, р»р^ = тс2 > 0. Следовательно, 4-вектор р^ лежит внутри светового конуса в ^-пространстве. Преобразования Лоренца, дополненные пространственной инверсией, не переводят ось р° из одной полости светового конуса в другую, поэтому сохраняется разделение решений на решения с положительной и отрицательной энергией.
Согласно (2.23) спиноры преобразуются с помощью оператора
S = e~{i/2) “<7о,) (3.4)
где для простоты мы выбрали направление скорости вдоль оси х. Входящий в (3.4) лоренцев угол и равен
со
= arcth ( — ~г) = — arcth
и отличается по знаку от (2.21), так как мы производим преобразование к системе координат, движущейся вдоль оси х со скоростью —V.
Применяя преобразование (3.4) к спинорам (3.2), получаем
Wr (р) = g-«a>/2) <Jmwr (0) = ^ch .2-<xj sh wr (Q) =
= ch-
-th?
- til-
wT (0). (3.5)
Из формул (3.2) для our(0) ясно, что спинор o>r(p) есть просто столбец с номером г этой матрицы преобразования. Используя
38
РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА ДЛЯ СВОБОДНОЙ ЧАСТИЦЫ
[ГЛ. 3
тригонометрические формулы
,, со — th со
— th — = ¦
v/c
рс
1 + у 1 - th2 (
1 + Vl — V2lc2
Е + тс2
ch
Е + тс2 2 тс2
(3.6)
можно выразить wr(р) через энергию и импульс частицы.
Можно обобщить (3.5) для произвольного направления скорости V. Для этого в (2.19) следует заменить матрицу / на
О
— cos а
— cos Р — cos у
где cos а, cos р и cos у — направляющие косинусы скорости V. Тогда
/5 =
cos а --- COS Р --- cos у
0 0 0
0 0 0
0 0 0
ffnv/« = 2 (cr0i cos а + а02 cos р + а03 cos у) — — 2/
Используя (3.6), получаем отсюда
0 ( ш а • v Л
S = exp(— Т17Г} =
. а- v
-V
Е Ц- тс2 2тс2
0
1
Р_с
Я + тс2 р+с
? + тс2 ~Ррс
Ргс
Ё + /пе2 Р + С Е + тс2
1
О
Е + тс2
~Ргс Е + тс2
О
1
(3.7)
? + /пс2 ? + тс2
здесь р+ = рх± ipy Общий вид решения для свободной частицы есть
¦фг (х) = wr (р) e~tBr ("и*11/*), (3.8)
где в представлении (1.17) для матриц у спинор wr(р) есть столбец с номером г в матрице (3.7).
Спиноры Z0r(p) удовлетворяют следующим полезным соотношениям:
(р — ermc) wr (р) = 0, (3.9а)
Wr (р) W' (р) = firr'8r, (3.96)
