Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
S=l + j hv, Yv]^v=l -jo„vA(oP*. (2.17)
Завершая решение нашей задачи, получим конечное собственное преобразование Лоренца как последовательность инфинитезимальных преобразований. Сначала построим
30 ЛОРЕНЦЕВА ИНВАРИАНТНОСТЬ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА (ГЛ. 2
преобразование (2.1) из (2.13). Запишем
М=д&>№ (2-18)
Здесь Дм— бесконечно малый параметр, или «угол поворота» вокруг оси с направлением п, а величина 1п представляет собой матрицу 4X4, действующую на пространственные координаты и время и отвечающую повороту на единичный угол вокруг оси п. Индексы v и (л нумеруют соответственнно строки и столбцы этой матрицы. Так, например, для перехода к штрихованной системе координат, движущейся вдоль оси х с бесконечно малой
скоростью, сДш = До, имеем
/ о — 1 о о\
АЫ ~п ! !! п° I (2.19)
0 ООО 0 ООО'
При этом
/т = /о-= — / = + Г = - 1.
Используя следующее алгебраическое свойство:
(1 о о о\
0 1 0 0 I /3 = + /
0 0 0 0 Г 1 ^ ’
0 0 0 0/
мы можем представить конечное преобразование к системе отсчета, равномерно движущейся вдоль оси к, в виде
*»' ^ lim (g + JL (g + J|L /) ... ха" =
N-*oо V 'v 'а, 4 'у 'о,
— (еш/)ц х» = (ch <о/ + sh ю/)ц х» = (1 — /2 +12 ch ш + / sh ш)ц откуда для отдельных компонент получаем
^*°\
(2.20)
х1' = (ch ш) (х1 — th со х°),
*»' = *». (2-21) Связь угла лоренцева поворота ш с относительной скоростью v дается равенствами
th ю = —, ch ш = 1
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО КОВАРИАНТНОСТИ
31
Этот результат можно обобщить на случай движения вдоль любого направления или пространственного вращения вокруг любой оси. Шесть матриц /,!, генерирующих шесть независимых лоренцевых поворотов, являются четырехмерными обобщениями поворотов трехмерного пространства, хорошо известными из нерелятивистской теории.
Перейдем теперь к построению матрицы 5, определяющей конечное преобразование спинора гр (л-). Из (2.14) и (2.18) имеем
г|/ (*') = 5г|з (х) = Jim (1 — ~ Ф М =
= exp ( — j сог|) (х). (2.22)
Если вновь обратиться к преобразованию частного вида (2.19),
получим
г|/ (х') = e~W2) (х), (2.23)
где х' и х связаны друг с другом равенствами (2.21).
Аналогично для поворота на угол <р вокруг оси г имеем /12 = — /21 = — I
и
^(/) = e(^)?o'^(x), (2.24)
где в представлении (1.17)
а 03 есть обычная матрица Паули размерности 2X2
(\ 0\
03 (о -1 )•
Мы замечаем сходство преобразования (2.24) с поворотом двухкомпонентного спинора Паули <р(*):
ф' (х') = е(1/2) й>'° ф (х). (2.25)
Входящие в (2.18) ковариантные «угловые» переменные co|iV играют в преобразовании Лоренца ту же роль, что угол поворота и направление ю в трехмерном вращении. Появление в (2.24) половинного угла, фигурирующего и в (2.25), есть отражение двузначного характера закона преобразования спиноров при вращении; нужно совершить поворот на 4я, чтобы значение спинора вернулось к начальному. Поэтому все наблюдаемые величины в теории Дирака должны быть либо билинейными по г|э(х), либо выражаться через другие четные степени гр (л:).
Для пространственных вращений матрица S = SR унитарна, поскольку матрица cri3- эрмитова и
St =e~Wi)a+,,a>4 = e~uli)ail<ail = Sxl.
32 ЛОРЕНЦЕВА ИНВАРИАНТНОСТЬ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА [ГЛ.2
Это несправедливо для матрицы 5 = SL, осуществляющей переход к движущейся системе координат. Например, для преобразования (2.23)
Sl = е~Ц12) “0<" = е~{ш12) = St ФБТ'.
Однако SL обладает следующим свойством:
5? = YoSL У O’
которое можно установить, разлагая SL в степенной ряд. Поскольку [уо, а*3'] = 0, это свойство можно обобщить на вращения и записать
S-‘=YoS+Yo. (2.26)
Уравнение непрерывности также ковариантно. Вектор плотности тока вероятности (1.21) и (1.22) в обозначениях (2.4) выглядит так:
f (х) = с\|>+ (х) y°y4 (х).
Под действием (2.1) он переходит в
}» = Сф/+ (*') yW (х') = ci|>+ (х) S+YoY^ W =
= сф+ (х) Yo-S-W = (x) YoY^ W = «v/v (x). (2.27)
Очевидно, что /д(х) является лоренцевым 4-вектором и уравнение непрерывности
дхи
инвариантно. Кроме того, плотность вероятности /°(х) = ср(х) преобразуется как временная компонента сохраняющегося 4-вектора. Мы уже упоминали об этом свойстве в § 3 как о желаемом. Оно необходимо для того, чтобы интеграл
