Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции - Комаров И.В.
Скачать (прямая ссылка):
238
§ 7. Слабосвязанные состояния в поле конечного диполя
1. Постановка задачи. Поведение уровней энергии ¦в потенциальной яме при Е-*-0, т. е. вблизи границы сплошного спектра, определяется характером убывания потенциала. Система двух кулоиовских центров, у которых заряды равны по величине и противоположны по знаку, т. е. когда
Z2=Z = —ZU а=0, b = 2ZR, (7.1)
называется конечным диполем. Потенциал конечного диполя на бесконечности убывает как О (г-2). Известно, что в оферически симметричном поле С-г-2 уровни при —1/4 экспоненциально сгущаются к границе континуума (Базь и др., 1971, стр. 525). Аналогичный эффект имеет место и для потенциала конечного диполя. Вычисление термов по стандартным схемам § 3 приводит к картине термов, изображенной на рис. 21, 34 (Wal-lis и др., 1960). Численные расчеты не удается провести для значений Е-+0 из-за того, что нормировочный интеграл для радиальной функции быстро растет с приближением энергии к границе континуума. Термы выходят в сплошной спектр при,конечных межцентровых расстояниях. Точки выхода термов в оплошной спектр, отмеченные на рис. 34 стрелками, соединены пунктиром с результатами расчета Wallis и др. (1960). В данном параграфе исследуются особенности сгущения уровней при Е-+0 и их выхода в оплошной спектр, т. е. область спектра, отмеченная на рис. 34 пунктиром.
Исследование границы сплошного спектра в поле конечного диполя требует построения следующих асимптотик р. к. с. ф. и у. к. с. ф.:
IU(p, 0; ?), Р-*0, т = 0(1), ?=0(1), (7.2)
ЕтДР> Ь; г)), р->0, т = 0{\), q = 0(l), Ъ -любое.
(7.3)
2. Асимптотика р. к. с. ф. Tlmh(p, 0; %) и собственных значений (р, 0) при р-vO. Уравнение (1.28) для nmft(p, 0; |) не содержит параметра а, зависящего от зарядов, и совпадает с уравнением (1.29) гл. 1 для с у.с. ф. Sml(p, rj), рассматриваемым на промежутке [1, оо).
239
Однако собственные значения р. к. с. ф. (р, 0) и с. у. с. ф. %т (р) различны, и поэтому р. к. с. ф. при а=0 не являются аналитическим продолжением с. у. с. ф. на полуось [1, оо) (см. для сравнения определения радиальных сфероидальных функций § 1 гл. I).
О Ьоа В IB Z't SZ 40
-от
-0,015
Рис. 34. Термы Е {kqm}W системы ZieZ2 при Zt = границы сплошного спектра.
-1, Z2 = l вблизи
Из общих свойств р.к.с. ф. следует, что любое собственное значение K^l (Р> 0) с конечными номерами т, k при р-*-0 стремится снизу к критическому значению —1/4 (ом. (1.47)), поэтому удобно ввести обозначение
*Ш (р, 0) = — 1/4 — (хД*, o-mfc-*0. (7.4)
р->-0
Для краткости индексы величины amft будем опускать. Подстановка
U(l)=C(?-iiymmh(p, 0; I) (C=const) (7.5) приводит уравнение (1.28) :к нормальному виду
l
(!;а - l)2
U(l)=0. (7.6)
240
Функция U (|) удовлетворяет граничным условиям ?/(6)|5_о = 0, Щ|)-»0. (7.7)
Разобьем полуось [1, оо) на два перекрывающихся промежутка
2>, = [1, ii], 3>. = [U оо], |.<|,. (7.8)
При р—»-0 в области S>i уравнение (7.6) можно приближенно заменить уравнением
г (I) + [Щ±т- + w^w]9 (|) = °- (7-9)
действительным решением которого, удовлетворяющим граничному условию (7.7) при | = 1 является функция
& (I) = а* - iy<2Pii/2+ictt)- (7.Ю)
Линейно независимое с ним действительное решение есть
<?(8) = (l'-i),/a«li/2+to(D- (7.П)
Здесь P-i/2+io (I), Q-i/2+ia (I) — функции Лежандра первого и второго родов
рт №v „ (- 1)тГ(у+1) С cos ту dtp
^v ^' — яГ (v - m + )) J [?2 + /|а - 1 cos q>]v+I'
°» (7Л2)
¦(- Dm Г (v + 1) Г _cWd*_
Wv l« - r(v-m + l) J IE» + Vl^Tch
о
(Градштейн, Рыжик, 1971, стр. 1015).
ФункцииP—i/2+i<}(I), Q—i/2+ta(l) при /п^=0 называют-ся функциями конуса.
С помощью функций &(\), С$(1) стандартным методом перейдем от дифференциального уравнения (7.6) к интегральному. Для решения ?/i(|), удовлетворяющего граничному условию (7.7), при §=1 получаем интегральное уравнение Вольтерра
Uг (6) = ? (I) * ? | Oi (<* 6. б') ^ GO (7-13)
16 И. В. Комаров и др. 241
Функция Грина G^a; g, g') имеет вид
С:(а; g, Г) =P(V)Q(l)-&(l)Q(l'), (7.14)
а Ш]—определитель Вронского функций ^(g), ??(g). Итерационный ряд для уравнения (7.13)
5
U, (I) = р (I) + ? j G1 (a; i Г) ? (?) df + ... (7.15) 11
имеет вид разложения по степеням малого параметра р2 с коэффициентами, зависящими от g. Ряд (7.15) сходится при любых конечных g, т. е. верхней границей области 2Ь\=\\, gi] может быть любое конечное gi. При р—*0 в области уравнение (7.6) приб-
лиженно совпадает с уравнением
Г (х) + [- 1 + f (х) = 0, (7.16)
в котором сделано масштабное преобразование
х=р%. (7.17)
Линейно независимыми решениями уравнения (7.16) являются функции
/ (а, х) = x^ho (х), g (а, х) = х1»Ки, (х), (7.18)
где Iia(x) —модифицированная функция Бесселя первого рода
/ (х) У (*/2)2S+V (7 19)
s=o 41 '
а Kia{x) — функция Макдональдс,
^W = 2-^)^-vW-/vWl (7.20)
(Бейтмен, Эрдейи, 1967, т. 2, стр. 13). Функция Kia(x) при х—*оо убывает по экспоненте.
Дифференциальное уравнение (7.6) с граничным условием (7.7) при g—у со эквивалентно интегральному уравнению Вольтерра
