Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции - Комаров И.В.
Скачать (прямая ссылка):
а = (Z, + Za) Я - 2р«+ = л+Д(- 2?)'/2,
а параметр Ъ угловой функции (8.44) — «улоновской серии уровней, соответствующей заряду Zj—7|2>0
Ь = (Z2 - Za) Я = — 2/?л_ = - л_ Я (- 2Еу/\
Е--Ц^п~)2- (8-47)
Необходимое условие сведения угловых и радиальных функций в задаче ZieZ2 ;к полиномам состоит в совпадении энергетических уровней, взятых из серии (8.46), (8.47)
^-i^ — i^l <8-48>
261
Межцентровые расстояния Rkq, при которых волновая функция задачи ZxeZ2 представляется в виде (8.45), находятся из равенства собственных значений у.«. с. ф. и p.iK. с. ф.
1% (р, 2рп+) = %™ (р, - 2рп_). (8.49)
Когда Umh(p, 2рп+; ?) выражается через полином @~n+mkm~1 (?) (8.43а), радиальная и угловая части функции (8.45) совпадают с одноцентровыми р. к. с. ф. и у. к. с. ф. В волновой функции фкят(г) (8.43а), (8.45)
системы Z\eZ2 сделаем замены
?-<->-п, п+ -<->-«_ (т.е. а-<->-—Ь). (8.50)
По свойству (8.38) угловая и радиальная части функции (8.45) при этом преобразовании меняются местами. Преобразованная функция Фй'„'т(г) также является собственной для задачи двух кулоновских центров, заряды которой Z\, Z2 определяются условием а -<->- —Ъ и равны
Zi'=Zlt Z2 = -Z2. (8.51)
Уравнение (8.49) при преобразовании (8.50) остается неизменным, благодаря свойству (8.39). Следовательно, для решений типа (8.43а), (8.45) справедливо свойство взаимности: если при R = Rkg существует элементарное решение для системы с зарядами Zu Z2 и энергией Е, то при том же межцентровом расстоянии Rkq и той же энергии Е имеется элементарное решение для системы с зарядами Zb —Z2 (Демков, 1968). Общее число таких частных решений при т = 0 равно
В табл. 21 приведены наборы Zb Z2, R (заряды целые), отвечающие простейшим элементарным 'решениям. В решения^х 3, 10, 14 этой таблицы радиальная функция строилась в форме (8.43а), в остальных решениях — в форме (8.436). Индексы п+, п- в четвертом и пятом стол|бца1Х указаны для Z2>0. При Z2<0 значения п+, п- следует переставить местами, п+ -<->- п_.
262
Таблица 21
№ 2. п+ п_ Состояние Z2>0 Z„<0
1 5 1 3 2 -2 Зра 2ра V То/з
2 5 3 4 1 -2 3sa 2ра /10
3 5 3 4 1 -2 — 2ря 2,519
4 3 1 1 4 2 -1/2 4ра 2ра VT
5 7 4 3 -2 4ра Зра 0,726
6 7 1 4 3 -2 4da 3da 2,241
7 7 1 4 3 -2 4<*я Зря /7/3
8 3 2 5 1 -1/2 4sa 2ра /15
9 3 2 5 1 -1/2 — 2ря 3,335
10 7 3 5 2 -2 Asa Зра 3,991
И 7 3 5 2 -2 Ара 3ds 5,330
12 7 3 5 2 -2 5 pa 2рв 0,735
13 7 3 5 2 -2 4рл 3d л /21
14 7 3 5 2 -2 — Зря 3,313
Для системы Z\eZ\ с одинаковыми зарядами параметр Ъ угловой функции равен нулю. У. к. с. ф. при Ь=0 никогда не сводится к полиномам. Хотя /при некоторых R возможно сведение радиальных кулоновских сфероидальных функций к одноцентровым, элементарные решения типа (8.44) в этом случае отсутствуют. Аналогичная ситуация имеет место для конечного диполя Z2=—Z\, где равен нулю параметр а р.к. с. ф.
4. Кулоновские серии в системе ZteZ2. Энергия Ekqm{Z\, Z2, R) задачи Z{eZ2 является сложной функцией параметров Z1( Z2, R я квантовых чисел k, q, т, которую при произвольных значениях Z,, Z2, R, k, q, т можно представить лишь в виде числовых таблиц. Однако известны четыре характерные значения R, три которых имеют место аналитические формулы для энергии, причем каждый раз при этом возникает кулоновская серия уровней:
I при R—v оо
/2 72
Е, = - -1 Е - - Ь-
II при /?> 1 в точках квазипересечения
2(«;-«2)2'
263
Ill при R ~ 1 волновые функции выражаются через полиномы в точках, где энергия системы подчиняется условию
Р__(Zt + Zj)* _ (Z, - Z,)«
2nl 2»L '
IV три R=Q, где задача при Z2-r-Z1;>0 вновь вырождается
р__(Z2 + Z,)2
2JV2
Отмеченные зажономерности имеют, по-видимому, общую причину, которая пока не выяснена.
ГЛАВА III
ОБЗОР ФИЗИЧЕСКИХ ПРИЛОЖЕНИЙ
§ 1. Применения сфероидальных функций,
связанные с разделением переменных в акустических
и электродинамических задачах
1. Обзор литературы. Сфероидальные функции широко используются в задачах дифракции электромагнитных и акустических волн с граничными условиями, заданными на поверхности вытянутого или сплюснутого эллипсоида, в предельном случае — диска. Наиболее полно эти задачи рассмотрены в книгах Meixner, Schafke (1954), Иванова (1968), Bowman, Senior, Uslenghi (1969).
Более простой является проблема акустической дифракции, поскольку она связана со скалярным уравнением Гельмгольца. Акустическая дифракция на диске рассматривалась в работах Kotani (1933), Bouwkamp (1947, 1950), Spence (1948), Meixner, Fritze (1949) и ряда других авторов. В силу принципа Бабипе одновременно решалась задача и о круглом отверстии в плоском экране. С задачей дифракции тесно связана проблема изучения акустических волн колеблющейся круглой мембраной (Meixner, Fritze, 1949). Более общей задаче о рассеянии на сфероиде посвящены работы Spence, Granger (1951), Senior (1960), Клещева и Шейбы (1970). В работах Kazarinoff, Ritt (1959), Sleeman (1969а, 1969b), 'Бобича и Григорьевой (1974) точное решение приводилось к виду, удобному для выделения коротковолновой асимптотики, и исследовалось волновое поле в зоне тени. Те же вопросы в частном случае диска решал Hansen (1964). Goodrich, Kazarinoff (1963) исследовали случай сильно вытянутых сфероидов, a Goodrich, Kazarinoff, Weston (1963)—случай сильно сплюснутых. Значительная часть общих формул, относящихся к скалярной дифракции, выписана в § 7 гл. I. Более полная сводка относящихся сюда результатов содержится в монографии Bowman, Senior, Uslenghi (1969).