Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции - Комаров И.В.
Скачать (прямая ссылка):
'7 И. В. Комаровой др. 257
в сферический, так что я этом пределе один из коэффициент к нулю
фициентов 4"im> стремится ik единице, а остальные
с\1'т) - Ьч+тЛ. (8.28)
При R —»- со сфероидальный базис переходит в параболический. Волновая функция водородоподобного атома в параболических координатах Fnniri2m(r^) является собственной для набора операторов
(L3 + Аа) Fnnin2m = (— пх + п2 --(- т) Fnilin2m, (8.29а) (L3 — А8) Fniun2tn = (пх — п2 + т) Fmitl2tn, (8.296)
(L2 + A2) Fnnin2m = (п - 1) (п + 1) FnlMim, (8.29в)
где целые неотрицательные пь п2 — .параболические квантовые числа, так что
"i-f п2+т+1=п. (8.30)
Нормированные функции Fnnin2in (г) имеют вид (2Z3)i/2 /ZC_\, /ZtW±'^
Здесь 5, т — параболические координаты, определен-ныеформулами (1.3) введения, а функции /„,„,, fn2m связаны с вырожденной гипергеометрической функцией
fsm (Р) = —Г
(s + т)\
1/2
F (— s, т + 1, р) е-р/2р'"/2. (8.32)
Переход от параболичеаких (координат к сферическим для кулоновских волновых функций осуществляется с помощью коэффициентов Клебша — Гордона (Stone, 1956; Tarter, 1970; Englefteld, 1972)
п— 1
(- l)Bl^nn,/i,m = 2 {hhmlm2 I Щ ЦпЬп, (8.33)
n — 1 — n, 4- я, + m /i = /a = —2—. mi =- 2 '
258
Отсюда следует предельное соотношение для коэффициентов сд",т) три R—>-оо
cqnim)->{- Ifihhm^lm), (8.34)
R-+00
• — ! — »~ 1 гч — —k + q+m т _ k — q+m ji — /2 — 2 ' 1 — 2 ' 2 — 2 '
Фазовые множители в предельных соотношениях (8.28), (8.34) соответствуют определениям радиальных и угловых кулоновских сфероидальных функций (1.31), (1.19).
При произвольных значениях квантовых чисел k, q, т функция 0„fc«m(ri), определяемая формулой (8.25) как конечная линейная комбинация кулоновских функций в сферических координатах, представляется в виде произведения одноцентровых .кулоновских сфероидальных функций
Фпкдт = IWp, 2рп; \)Emq{p, - 2рп; п)
e±im<f
Y2n '
р = ZR/(2n). (8.35
Связь между параметрами аир одноцентровых кулоновских сфероидальных функций соответствует кулоновской серии уровней
a = ZR = 2pn = nR (- 2?)'/2, ? = - - JL. (8.36)
Переход в линейной комбинации (8.25) от сфери-
ческих координат Г\, •r>i = arccos Rru ф к вытянутым сфероидальным координатам |, п, ф осуществляется с помощью соотношений
'1=4^+^- cos^=iitV' ф==ф- (8-37)
Поскольку r\, cos^i не меняются при замене | -<-> п, из формулы (8.25) получаем, что одноцентровые угловые и радиальные кулоноваше сфероидальные функции при этом преобразовании переходят друг в друга, т. е.
Emq(p, —2рп; г|) = СПтДр, 2рп; |), т| = 1 e=i[— 1, оо),
С = const, (8.38)
а для собственных значений справедливо тождество
Я™ (р, - 2рп) = № (р, 2рп), (8.39)
где k-{-q-{-m-{-\=n.
17* 259
Линейная комбинация (8.25) функций (8.21) определяет одноцентровые у. к. с. ф. и р. к. с. ф. в следующем функциональном виде:
(р, 2рп; I) = (|2 - l)«/2e-pft-o т^Г~1 (I), (8.40а)
Emq{p, -2рщ ц)^С{\-^Г'2е-р(^-ГтТт-'(ц),
(8.406)
где С=const.
Согласно (8.38) ^,л-1(|)(^„"-'л-1(т1)-один и тот же полином степени п—т— 1, имеющий k нулей на промежутке [1, оо) и q нулей на промежутке [—1, 1].
Формулы (8.38) — (8.40) были получены независимо из анализа рекуррентных соотношений между коэффициентами рядов для у. к. с. ф. и р. к. с. ф. в § 2. Данное рассмотрение показывает, что представление у. к. с. ф. и р. к. с. ф. через полиномы &~тТт~1 реализуется в одноцентровой кулоновской задаче и дает, таким образом, другой способ построения этих полиномов.
Набор функций водородоподобного атома в сфероидальных координатах (8.23) при фиксированном п не образует полной системы в ,<?2(523). Ядро оператора проектирования на этот набор не зависит от коэффициентов преобразования (8.25) и равно (Демков, Комаров, 1965)
Рп [rlt г\) = 2 Фп*«и (г,) Фпкдт (г[) =
k+q+m+\=n 1>т=0
= "ЯГТ^Г(i *».(*)• (8.41)
Здесь векторы гъ Г\ отсчитываются от точки, в которой находится заряд, создающий кулоновское поле, функция Rni(x) определена формулой (8.21), а координаты задаются равенствами
2x^r1+r\+\r1-r\\t 2y=r1 + r\-\rl-r\\. (8.42)
Собственные функции водородоподобного атома в сфероидальных координатах при положительной энергии в литературе не обсуждались.
260
3. Элементарные решения в задаче Z{eZ2. При произвольных значениях параметров р, а, Ь у.к. с. ф. и р.к.с. ф. представляются бесконечными рядами. В п. 4 § 2 показано, что при специальном выборе этих параметров у. к. с. ф. и р. к. с. ф. выражаются через полиномы
IhnkiP, 2рп+; |) =
(t» _ 1 W2e-rti-i> gr\ -m-1 (l)t k^n+-m—l ,(8.43a)
mfc
(jfjjm/2^pa'-l) 9п^(1), n+-m<k<n+-\,
(8.436)
Sm,(p, - 2ря_; л) = (1 - ч»)«/%-«к«+ч) «Г^"я_1 (tj),
—m — 1. (8.44)
В задаче двух кулоновских центров можно подобрать значения параметров Zit Z2, R = так, чтобы радиальная и угловая функции представлялись в виде (8.43а), (8.436), (8.44)
Фкт (п RZ,) =
== const nmfe (р, 2рп+; I) Emq (р, -2рл_; Ч) e±^ (8.45)
(Домков, 1968). Построим такие наборы.
Параметр с радиальной функции (8.43) отвечает «улоновской серии уровней, соответствующей заряду
