Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции - Комаров И.В.
Скачать (прямая ссылка):
з , (8-7)
r2-^ Л = 2 xt = xi + x\ + (x, + R/2f.
Операторы h, L2, A3 при заменах (8.7) преобразуются
253
следующим образом:
Л-*Л' = у-?, (8.8)
(</=i
= L2 + i R* (P2 - Pi) + 2 («ЗД - Pffv), (8-9)
/=i
л3 -> a ; = -1 [i I (ад - - ^±тЦ -
и поэтому для линейной комбинации L'* + ЯР0Аз имеем
L'2 + RP0A'3 = L2 + |я2 (Р2 - Р§) + ^(*з+ у)- (8-11)
Равенство (8.6), записанное для преобразованных операторов h? и V + РР0Лз, приобретает вид
- L2 + 1 Р2Р23 + ^-3] = 0. (8.12)
Если поместить заряд Z% создающий кулоновское поле, в точку с координатами (0, 0, R/2), т.е. сделать замены
Z-»Z2, xi ~>х\ =Xi — -уРб,-3( (8.13)
г -> г2 = 2 ^ = *; + у + (*, - Ri2)\
то, повторяя выкладки (8.8) — (8.12), получаем
L2 + -i-№3--^b?3_j = 0. (8.14)
Найдем интегралы движения в задаче Z\eZ2, гамильтониан которой есть
н = -т~11-т> (8Л5>
где Г\ 'и Гг определены соотношениями (8.7), (8.13). 254
Очевидно, что третья компонента момента L3, которая не содержит координаты Хз, коммутирует с гамильтонианом (8.15), т. е. остается интегралом движения и в двухцентровой задаче.
Еще один интеграл движения следует из равенств (8.12), (8.14), которые могут быть представлены в виде
[?,*z^]-[A1)L2 + о,
откуда получаем коммутационное соотношение
(8.16)
Таким образом, величина
A = L* + ±R*PI + RZ1^-RZ2-Zl-±.R*H (8.17)
является интегралом движения в задаче ZieZ2. Оператор Л коммутирует также с третьей компонентой углового момента, поэтому операторы Н, L3, Л могут быть диаго-нализированы одновременно. Соответствующее представление и отвечает разделению переменных в вытянутых сфероидальных координатах; общая собственная функция операторов Н, L3, Л представляется в виде
nmh (р, a; I) Emq (р, Ь; ц) e±im<p, (8.18)
где р, а, Ь связаны с Z\, Z2, R, Е соотношениями (3.3а).
Оператор Л, собственным значением которого является константа разделения Я, может быть выражен в дифференциальной форме (Erikson, Hill, 1949, Coulson, Joseph, 1967, Кривченков, Либерман, 1968)
— (I2 — 1)-^- (1 — Л2)-^-} + [frzi П=Тр"] "оф"+
+ RZl^+±-~RZ2^L. (8.19)
255
2. Водородоподобный атом в сфероидальных координатах. Водородоподобный атом с зарядом ядра Z можно рассматривать как частный случай системы ZieZ2, когда заряд одного из центров, например правого (x3=R/2), равен нулю, a ZX=Z. В результате разделения переменных в вытянутых сфероидальных координатах приходим к уравнениям вида (1.14), (1.28), в которых надо положить а=—b=ZR.
Одноцентровая иулоновская задача допускает разделение переменных в трех системах координат: сферической, параболической и вытянутой сфероидальной, причем первые две координатные системы являются предельными случаями третьей (ом. § 1 введения). Поэтому решения водородоподобной задачи в сфероидальных координатах можно найти, не обращаясь к уравнениям (1.14), (1.28) при а=—Ъ. Построим такие решения, воспользовавшись известными решениями той же задачи в других координатных системах (Coulson, Joseph, 1967).
Волновая функция водородоподобного атома в сферических координатах ty„im(ri) является собственной функцией для операторов:
В соотношениях (8.20), (8.21) числа п>/^/и — целые, п — главное квантовое число, так что P0 = Z/n, У? (ft, <р) — сферическая функция, a F(a, 4, z) —вырожденная гипергеометрическая функция, которая в равенстве (8.21) сводится к полиномам Лагерра.
Из свойств алгебры 04 (Englefield, 1972, стр. 56) следует, что ненулевые матричные элементы третьей компоненты вектора Рунге — Ленца с точностью до
i2^nIm=/(/+l)l|5nIm,
(L2+А2) ifBlm = (п-1) (п+1)
'nlm
(8.20а) (8.206) (8.20в)
и с учетом нормировки имеет вид
*.ta(ri)-=l?n*(ri)y?(»i, Ф),
(8.21)
256
несущественного фазового множителя в этом представлении определяются формулой
(А3)п,1,т = (А9)п,1+1,т =
[ (п + I + 1) (я - I - 1) (I + ffl + О (1 - т + I) /Я «оч
= ( (2/+!)(2/ + 3) ] • 1°""'
Волновая функция рассматриваемой водородопо-добной системы в сфероидальных координатах 0„Mm(/"i) является собственной для набора операторов
Lz<bnhqm=±tnQ>nhqm, (8.23а)
{V+RPuA3)®nkqm=№nKqm, (8.236)
(L2+A*)Q>nktm=(n-\) (п+\)Фпкчт, (8.23в)
где целые неотрицательные k и q— сфероидальные квантовые числа, причем
k+q+m+\ = n. (8.24)
При разложении Onhqm{ri) по системе i|w(/"i) индексы пят остаются фиксированными, в то время как / меняется в конечных пределах от т до п—1, так что
Фпкчт = Ъ сТ\ит- (8-25)
Подстановка этого разложения в (8.236) приводит к системе линейных однородных алгебраических уравнений порядка п:— т для коэффициентов cq"'m) (1= = т.....п—1, a q и т — фиксированные)
/ л \п1т „(п,т) , X — I {I + 1) Лп,т) , / , -.nlm Лп.т) Л \Au)n,l~l,mCq,l-l Л--- Cqi + {A3)n,l+l,mc),i+i = 0.
(8.26)
Ненулевое решение системы (8.26) существует при значениях X, равных корням ее определителя.
Преобразование (8.25) является унитарным, поэтому для его коэффициентов при фиксированных п, т, R выполняются соотношения
"Sc^'HT'-e^. (8.27)
l—m
Предельные значения cq)'m) при R—>-0 и R—* оо известны. При R—*0 сфероидальный базис переходит
