Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции - Комаров И.В.
Скачать (прямая ссылка):
Из условия убывания функции ?/(|) при |->оо следует, что
х=&+(т+1)/2, ?=0,1,2,..., (4.50)
где k — число нулей р. к. с. ф. Функция Уиттекера три выполнении (4.50) выражается через полиномы Лагерра (2.26а).
Замены ?-»—т], p-»—р, а-*—р переводят радиальное уравнение (4.7) в окрестности | = 1 с граничным условием ?/(1)=0 в угловое уравнение (4.8) в окрестности т) =—1 с граничным условием V{—1) =0. Поэтому
216
разложения Для масштабного преобразования радиального уравнения у(%) и собственного значения получаются с ломощью разложений (4.21), (4.23)
у(р, а, х,.|)=г_(—р, —а, и, —%), (4.51) %В(р, 2ра) = Я$ (- р, - 2ра; - 1, * + (4.52).
Таким образом, асимптотика р. к. с. ф. при р-*-оо строится с помощью асимптотики у. к. с. ф.
Нормированные в первом порядке по р р. к. с. ф. имеют вид
П-л(р.2ра;?) =
(4.53)
В табл. 11а и 116 (§ 2) приведены собственные значения к™, соответствующие представлению у. к. с. ф. через
Рис. 3i. Схематическое поведение величины v= (2р)-' 1$(р, 2/»(J)
При р-*-оо.
полиномы ^"ттСяГ1 и Р-к.с.ф. через ПОЛИНОМЫ g'mT'd). Для безузловых функций собственные значения имеют вид
Xfi8 = m(m+1), (4.54а)
1$ = - 2рт. (4.546)
217
С помощью (4.44), (4.44') при q=0 и \}=—m-f-1 выясняем, что собственные значения ^ml(p, — 2p(m-f 1)) отвечают состояниям левого центра, для которых q=n2=0. Формулы (4.23), (4.52) приводят к следующим асимптотическим разложениям:
Щр, -2р(т+ 1); - 1, ^L±ij = m(m+i)+Oify,
(4.55а)
Я<8 (р, 2р) =-2рт+ 0{р~% (4.556)
что согласуется с (4.54а), (4 546).
2. Энергия системы Z\eZ2 при /?->-оо. Когда межцентровое расстояние стремится к бесконечности, вытянутые сфероидальные координаты вблизи |=1, tj=±1 сводятся ,к параболическим (введение, (1.4а), (1.46))
С-(6-1) Я, т±»(1 Тч)Я. (4-56)
Задача двух кулоновских центров в пределе #->-оо рашадается на две одноцентровые кулоновские задачи с зарядами Z\ и Z2. Каждый из атомов eZ\ и eZ2 характеризуется набором параболических квантовых чисел n,nlt п2,т] и [n',n'i,n2, т], которые связаны соотношениями
я = пх + п2 + т + 1, п' = п\ +rt2 + m-i- 1. (4.57)
Индексы rtj, п2, tii, /г2 равны числу узлов волновых функций атомов eZ\ и eZ2 по параболическим координатам ?, т. Из соотношений (4.24), (4.28) и (4.56) видно, что введенные формулами (4.34), (4.34') индексы п%, /г2 являются параболическими квантовыми числами атомов eZ[ и eZ2 соответственно. Число узлов р. к. с. ф. k совпадает с П\ для угловых функций левого центра и с П\ для угловых функций правого центра.
Из равенства собственных значений р/к. с. ф. и у. к. с. ф.
1Ш(р,2ра) = ^(р,2Рр) (4.58)
с учетом связей параметров р, а, р" с Zb Z2 и энергией ? (4.1), (4.3) получаются формулы для энергии при
218
R-^oo и осуществляется переход от параметра р к параметру R в разложениях р. к. с. ф. и у. к. с. ф.
Подстановка в уравнение (4.58) степенных разложений Я$(р, 2рР; — 1, n2 + (т + 1)/2), %В(Р,2ра), определенных формулами (4.23), (4.52), после ряда алгебраических преобразований приводит к разложению энергии по обратным степеням R
E[nmntm] (Zi, Z2> R) =
+ тйёг tziА (109д2 ~39"2 ~9т* +59) -
- Ztn (17n2_ЗА» - 9m«+19)]+^ + ^ +о(^т), (4.59)
где A = «i—п2, а величины [?]s,6 приведены в табл. 15.
Формула (4.59) дает разложение по мультшюлям энергии электростатического взаимодействия атома eZj
Таблица 15 Коэффициенты степенного разложения энергии E[nnintm](z^ z* *) в Формуле (4.59) (обозначение: e=nZ2/Z,)
\Е]6 - ^fiRb~{е (1065 — 594 л2Д2+1230 Д2 -—234 т2Д2+9 т<+33 п* — 18 я*т2 — — 18 т2+105—138 и2) +4 е2Д (21 Д2 — —111 л2+63т2 — 189)}
[?]« MZ\R* (еД (—2727 Д4+2076 я2Д2 — 5544 Д2+ +1056 Д2т2 — 93 т< — 273 п<+78 я2т2+450 т2 — —1533+1470 и2) +2е2 (—207 Д4+1044 л2Д2+2436 Д2 — —576 Д2т2 — 42 п2+371—162 т2+42 т2и2 — — 89 п*+15 т4) +2е3Д(ЗД2 — 69 и2 — 117 — 33 т2)}
219
с удаленным точечным зарядом Z2 (eZj-термы). Разложение (4.59) может быть получено по обычной теории возмущений; степень Z2 указывает, в каком порядке теории возмущений сосчитан данный мультипольный момент атома eZx. Серия термов, соответствующих атому eZ2, получается из формулы (4.59) заменами Z, ¦*-*¦ Z2,
Переход от параметра р <к параметру R для eZi-тер-мов осуществляется с помощью формулы
+ [Z?(6Aa + 1 - т*) 4- Зг^пА + Z&] 4-
+ -StfL [Z?A (39na - 109Д2 - 59 + 9/n2) +
4- Z?Z2n (25n2 - 69Д2+ 11 - 9/n2) 4- Шгг1п*Ь + 10Zin3] +
+ ^ + + 0(^). (4.60)
Величины [p]t, [p]5 приведены в табл. 16.
С большей точностью известно степенное разложение для энергии lsag и 2ро„ состояний молекулярного иона водорода (Zi=Z2=l)
Р п . __1___9___Ш _213_ 7755
^оооН»1.^;— 2 4Rt 2R6 4R1 щ-в
1773 86049 _n(j_\ afin 2R» 16tfw ^(^"J* * '
Квазипересечению собственных значений и
А™,, определяемому соотношениями (4.45), отвечает квазипересечение энергетических термов, у которых пг — щ, ад2 и п; удовлетворяют условию
Р = (Z, - Z») (- 2?Г1/2 - п'а - п2. (4.62)
В малой окрестности (4.37) точек квазипересечения необходимо учитывать экспоненциальные добавки к энергии. Случаи равных и неравных зарядов существенно различаются.
