Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции - Комаров И.В.
Скачать (прямая ссылка):
Экспоненциальные добавки к энергии нужно учитывать лишь в малых окрестностях ювазипересечений
б (яа, п2, т, р)
вкт-
7 _V 1"2 — П2)
R2
km
"¦"2
(4.72)
Неравенство (4.72) вытекает из (4.37).
Оценить пределы применимости и практическую точность найденных асимптотических разложений и приближенных формул типа (4.69), (4.70) можно сравнением с результатами интегрирования задачи ZieZ2 на ЭВМ. В табл. 18, 19 (Дамбург, Пропия, 1968) такое сравнение
Таблица 18 Значения — -g [?[юоо]ц(1,1, #)+?[iooo]g(l,l, R)]
R Результаты | Результаты расчета по формуле (4,61)
Peek(1965) J По 2 По
7 0,500932858 0,5000000000 1 0,500937109 2
8 0,500588202 0,500577926 3 0,500603318 4
9 0,500369641 0,500368181 4 0,500370996 5
10 0,500239899 0,500239037 5 0,500239923 6
20 0,5000142285 0,5000142260 5 0,5000142277 6
30 0,50000279074 0,50000279069 5 0,50000279073 6
Таблица 19
Значения ?[iooo]u (1,1, R) — ?[iooo]g(l,l, R)
R Результаты Peek (1966) Результаты подсчета по формуле (4.65)
1 п0 2 п.
5 4,7128682 (—2) 4,7253279 (—2) 4 4,6442934 (—2) 5
6 2,1325156 (-2) 2,1360140 (—2) 5 2,1253573 (—2) 6
7 9,322291 (—3) 9,328973 (—3) 5 9,319930 (—3) 6
8 3,964371 (—3) 3,964450 (—3) 7 3,963589 (—3) 8
9 1,651623 (—3) 1,651812 (—3) 7 1,651673 (—3) 8
15 6,876128 (—6) 6,876144 (—6) 7 6,876134 (—6) 8
20 6,1678 (—8) 6,167766 (—8) 7 6,167765 (—8) 8
30 4,1850 (-12) 4,185001 (—12) 7 4,185001 (—12) 8
5 И. В. Комаров и др.
225
проведено для формул (4.61), (4.65), в которых удерживалось разное число п0 членов асимптотических рядов. в каждом, случае представлены два результата, которые находятся в наилучшем согласии с данными peek (1965, 1966). числа в 'круглых скобках в табл. 19 обозначают степени десяти, на которые следует умножать стоящие перед ними величины. видно, что асимптотические формулы в состоянии обеспечить довольно хорошую точность.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
Мультипольное разложение для энергии изучали Coulson (1941) (формула (4.61)) и Coulson and Gillam (1948). Интерес к экспоненциальным поправкам был стимулирован работой Herring (1962), который показал, что метод ЛКАО («линейная комбинация атомных орбиталей») дает принципиально неверное значение Ев—Еи при R-~+oo. Он нашел главный член асимптотики Eg—Еи для \sOg и 2рои состояний Н^". Этот же результат независимо получен Ландау и Лиф-шицем. Смирнов (1964) перенес рассмотрение на возбужденные состояния Н^", Овчинников и Суханов (1964) разработали схему построения асимптотики для Нг" и провели вычисление нескольких членов степенного и экспоненциального разложений энергии и функций основных состояний. Они предложили удерживать в разложениях также и кратные экспоненты. Метод Овчинникова и Суханова развили Дамбург и Пропин (1968, 1971), Damburg, Propin (1968), вычисления которых являются рекордными для молекулярного иона водорода (формулы (4.64), (4.65)). Изучение иона Нг" при R-+<x> тесно связано с анализом асимптотики при р->-оо сплюснутых угловых сфероидальных функций (§ 5, гл. I).
Комаров и Славянов (1967, 1969), Komarov and Slavyanov (1968) применили к построению асимптотики метод эталонного уравнения и провели вычисления как для одинаковых, так и для различных зарядов. Изложение в тексте в основном следует их работам.
Обширные вычисления в асимптотической области провел Power (1973), улучшивший расчетную технику. Для нахождения коэффи-
циентов степенных поправок к Хт? он использовал ЭВМ. Из его статьи взяты формулы (4.22), (4.23), (4.36), (4.59), (4.60). Отметим, что степенные разложения (4.59), (4.60) с точностью до 0(R~7) и 0(R~S) соответственно были получены в 1971 г. Дамбургом и Про-шшым.
Квазипересечения энергетических термов на конечных расстояниях впервые были обнаружены при численном счете Пономаревым и Пузыниной (1967). Различные аналитические формулы, описывающие квазипересечения, даны Komarov and Slavyanov (1968), Комаровым и Славяновым (1969), Пономаревым (1968) и Power (1973). В тексте приводятся результаты Power, который предложил рассматривать при анализе квазипересечений полусумму энергий е2г и е22-состояний.
226
§ 5. Асимптотические разложения решений задачи ZieZ2 при /?->0
1. Теория возмущений для оператора энергии. Когда суммарный заряд 'кулоновских центров Z=Z2+Z1 положителен и межцентровое расстояние R стремится к нулю, можно рассматривать задачу ZieZ2 по теории возмущений, не проводя разделения переменных. Оператор Гамильтона системы ZieZ2 представляется в виде суммы двух слагаемых
й = Й™ + # = ?-%-%. (5.1)
В качестве Нал выбирают оператор Гамильтона объединенного атома (united atom)
HUA=~---, (5.2)
2т Тс
находящегося на оси z в точке z=z0
H-f + ^)Mt-t)*- (5-3)
Точку (0, 0, zQ) называют центром зарядов, поскольку она делит межцентровое расстояние R на два отрезка
#, = -§-#, R2 = ^-R, (5.4)
длины которых обратно пропорциональны зарядам. Построим сферическую систему координат гс, ftc, Ф, начало которой находится в точке (0, 0, z0), а угол ftc отсчиты-нается от оси г. Собственные состояния оператора НиА характеризуются набором сферических квантовых чисел Л', I, тп; его собственные функции представляются в виде
