Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции - Комаров И.В.
Скачать (прямая ссылка):
где gs удовлетворяют трехчленным рекуррентным соотношениям (2.3) с коэффициентами (2.36). Собственное значение К% (/>> 2/?(14-о)) определяется наименьшим корнем векового уравнения
D — а2 12 О
аз о_а2_2(1+2р-а) 22
О 1 — а2 D—а2— 4 (2+2р—а)
det Л
= 0,
где
(5.23)
?>=о(1+2р)+а2—X. (5.24)
Для наименьшего корня уравнения (5.23) справедлива оценка D = 0(o2) = 0(р4), которую можно получить, например, сопоставляя определителю det Л бесконечную цепную дробь. Для того чтобы найти главный член разложения D, во всех матричных элементах, кроме {Л}0о. пренебрежем величинами D и о2. Оставшийся определитель дает для D представление в виде цепной дроби
а8[1 — 2(1+2р)- 2(1+2р/2)-' 2(1 + 2р/3)- ... ] =
2(1 +2р/3) - а2В (р).
(5,25)
23!
Дробь В(р) встречается при разложении в бесконечную цепную дробь интегральной показательной функции и равна
ОО
В (р) = 4ре*р J е-Ч-Щ (5.26)
(Wall, 1948, стр. 367). При малых р из (5.26) получаем В(р)=-4р1п4рч+о(р), (5.27)
где 1п у — постоянная Эйлера. Разложение для собственного значения Коо(р, 2р (1 + о)) имеет вид
(р, 2р (1 + о)) = а (1+ 2р) + а2 (1 + Ар 1п Ару) + о (р5).
(5.28)
Р. к. с. ф. основного состояния с точностью до о(р1) представляется в виде
П0п(р, 2р(\+о)\ ?) = в-р-'(1 +1УП+о*и,(х)+ о(р%
(5.29)
где х— (?+1) — переменная Яффе, а 1л2(л:) —
дилогарифм Эйлера
Lit(x) = = - ] 1п(1 - *) ? (5.30)
(Бейтмен, Эрдейи, 1967, т. 1, стр. 46).
Еще один поправочный член в формуле (5.29) приведен в статье Byers-Brown and Steiner (1966); он выражается через громоздкие интегралы.
Находить энергию как функцию параметров Zu Z2, R из равенства
№ (Р, Щ) = № (Р, Ь (1 +[а)) (5.31)
удобно в два этапа, определив сперва зависимость от Zu Z2, R квантового дефекта о. Окончательно из (5.21), (5.28), (5.31) получается разложение
?ооо (Zlt Z2, R) - - \ Z2 + I (ZRf -
~ 4 Z,Z2 (ZRf + 4 22Z2 (1 - ^ф-^ (ZRf -
45 ^2
In (2#ZT) + 1 - (Z#)5 +
+o((Z*)5). (5.32)
232
Сравнение формул (5.13) и (5.30) показывает, что члены, пропорциональные (ZR)2, (ZR)3. в обоих разложениях совпадают. Последующие поправки различаются коэффициентами; формула (5.13), полученная во втором порядке теории возмущений, является менее точной. Поскольку в разложении (5.30) содержится логарифмический член, энергия при малых расстояниях R является неаналитической функцией параметра ZR, Практическая точность формулы первого порядка теории возмущений (5.12) и формулы (5.30) одинакова: при Z#<0,1 погрешность не превышает одного процента, но быстро растет с ростом параметра ZR.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
Morse and Stfieckelberg (1929) предложили строить разложения энергии при малых межцентровых расстояниях по теории возмущений, не производя разделения переменных. Бете (1935) вывел формулу
(5,12) для молекулярного иона водорода Нг . Baber and Hasse (1935) обобщили результат Бете для произвольных зарядов, поместив по совету Гайтлера объединенный атом в центр зарядов. Levine (1964) рассчитала во втором порядке теории возмущений энергию основного
состояния Нг". Идея решения углового уравнения при /»->0 итерациями принадлежит Hylleraas (1931). Подробный анализ углового и радиального уравнения для основного состояния ZieZ2 провели Byers-Brown and Steiner (1966), обнаружившие логарифмические добавки к энергии. Точность разложений (5.12), (5.32) обсуждали Byers-Brown, Power (1970), Chang (1973).
§ 6. Квазиклассическая асимптотика решений задачи Z\eZ2
По аналогии с результатами § 6 гл. 1 квазиклассические асимптотики у. к. с. ф. и р. к. с. ф. р-типа, соответствующие дискретному спектру задачи ZieZ2, можно представить в виде (6.10) гл. I, где значения квазиимпульсов для радиального и углового решений соответственно равны
Качественный ход функций f(|)=—[р(1)]2и положение точек поворота ^представлены на рис. 32. Квазиклассическая асимптотика решения радиального уравнения
р (л) = ["— р2 +
g2-l К -f- Ьц
1 — Т12 '
233
(128) в области 1i<1<12, где [р(1)]2>0, имеет вид
Tlmk (I; R) =Nmk[(l*-l)p cos | р (l)dl- i),
(6.2)
а в областях l^|<;li и 1>1г экспоненциально затухает:
Птй (?; /?) = | [(Р - 1) р ШГ'/2 ехр
-'/2,
причем Kl = Nmk, a N%l = (-)kNmk. Нормировка Nmh находится из условия
1 лг2
f rig
J (I2 - Dp
(6)
- 1.
(6.3)
(6.4)
Интеграл в (6.4) выражается через полные эллиптиче-
Рнс. 32. Эффективный потенциал, о(|)= — [p(|)]s радиального уравнения (1.28); |i н I2 — корни квазнимпульса (6.1а).
ские интегралы. В предельных случаях #->-0 и R-+00 из (6.4) получаем: при R-+0
при R-+00
Nmk~{^)m, (6.56)
Угловые части решений выглядят существенно по-разному в зависимости от соотношения между р и К. В
234
пределе R-*-oo функция v(r])— — [p(y])]2 имеет вид кривой / на рис. 33, а и четыре действительных корня г\< (при /я=0 корни t]i=—1, т]4=1, а общий вид функции v(r\)= — [р('п)]2 изображен на рис. 33,6). В области
а) 6)
Рис. 33. Эффективный потенциал v(f\) = —-[р(ч)]2 углового уравнения (1.14), соответствующий квазиимпульсу (6.16). Кривые I н II отвечают предельным случаям р>1 и р2<1. а) Случай тфО, б) случай т—0.
