Задачник практикум по математическому анализу - Егерев В.К.
Скачать (прямая ссылка):
4;
3) у = cos х, у = cos х — 1 и у = cos X + 2;
4) У = Ig х, у = lg X — 1 и у = Ig л: + 2;
5) у = tg х, у = tg X + 1 и у = tg X — 1.
2. Постройте графики функций:
1) У = *2, У = (X — I)2, у = (X + 2)\ у = (X + 2)2
2) у = 2\ у = 2*-1, у = 2*+1, у = 2*+] + 3;
3) У = Ig х, У = Ig (X - 1), У = Ig (X + 2), у = Ig (X + 2) + 2.
3. Путем выделения полного квадрата постройте график функции у = X2 — 4х + 5.
4. Постройте графики функций:
1) У = 2*, у = —2*;
2) У = Ig^, У = — Ig*;
3) у = (* - I)2 + 2, у = - (X - I)2 - 2;
4) У = tg х, у = —tg х.
5. Постройте графики функций:
1) У = 2х, У = 2-';
2) У = lgx, у = Ig (—х);
3) у = sin х, у = sin (—х);
4) У = tgx, у = tg (—х).
6. Укажите вид функции, обратной данной (по образцу: у = 2х+1, X = 2у + 1, у = ^=" П
1) у = 2*; 2) у =
1
х + 2
1) у== sinX на промежутке
3) у = tgx на промежутке
7. Постройте графики функций, обратных следующим функциям:
зх зх
T' 2
2) у = cos X на промежутке [0; зх];
зх зх
4) у = ctg X на промежутке ]0; дх[. 8. Постройте графики функций:
1) у = aresin х, у
2 aresin х, у = —aresin х;
'2
2) у = arctg х, у = 2 arctg х, у = yarctg х;
3) у = cos х, у
cos 2х, у = cos —; J 2
4) у = arccos х, у = arccos 2х.
9. Постройте график гармонического колебания у = 3 sin (2х + + ~~j в следующей последовательности:
а) у = sinx; б) у = sin ^x + -^-j; в) у = sin 2 |х + ¦^-j;
г) у = 3 sin ^2х + выделив неподвижную точку преобразования.
23
10. Постройте графики функций:
1) у = \2х — 1|; 2) у = u2- 1|; 3) у = |lgx|; 4) у = ]cosx|; 5) у = ijci; 6) у = 21"; 7) у = 2 ul - 1; 8) у - Ig 0,5 \х\.
11. Постройте график функции у = | Ig \х\\.
III. Упражнения для самостоятельного решения
Постройте графики функций: _
1. у = X3 — 1. 2. у = (X — I)3. 3. у = ]/Т. 4. у =Ух—1. 5. у = = (||*1. 6. у = ctg^— j. 7. у = U2—6*+5|. 8. у = х2—6\х\ + 5.
9. у = |log2(jc — 2)|. 10. y = log2|*—2|. 11. у = 1Og2(UI-2). 12. у = I log21 I х\ — 2||. 13. у = I aresin х\. 14. у = aresin \х\. 15. у = I aresin \х\\. 16. у = arecos \х\. 17. у == arctg \х\. 18. у =
= larctg \х ||. 19. y = arcctgU|. 20. у = -Ці. 21. у - 1 siM 22. у = Ui . 23. у
я — 1
л: sin X
1
. 24. у = LU—L . 25. у = I arcctgx|. * + 2 У |*|+2
§ 6. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРЕДЕЛОВ
I. Основные сведения из теории
1°, Закончите определение:
Постоянное число А называется пределом числовой последовательности ап при п, стремящемся к бесконечности, если для любого сколь угодно малого положительного числа е можно указать такой номер N члена последовательности, что для всех N будет выполняться неравенство ... или
(Ve >0) (ЗЛО : (п> N=> ...).
Для е, выбранного на рисунке 18, номер N = ... .
2°. Закончите утверждения:
1. Если точка х принадлежит интервалу ]#0 — б; X0+*&[_, т. е. если выполняется неравенство \х — х0| ... б, то говорят, что X принадлежит непроколотой б-окрестности ТОЧКИ Xq1 ИЛИ X ... U6 (X0) (рис. 19).
2. Если точка х принимает все значения из интервала ]*0 — б; X0 + б[, кроме х0, т. е. выполняется неравенство 0 ... \х — х0\ ... б, то говорят, что X принадлежит проколотой б-окрестности точки
х0, или X ... U6 (х0) (рис. 20).
3. Если точка х принимает все значения из полуинтервала Ix0; X0 + б[, т. е. если выполняется неравенство х — X0... б (рис. 21), то говорят, что X принадлежит непроколотой правой б-полуокрест-
ности ТОЧКИ X0, ИЛИ X ... Uf (X0).
4. Если точка х принимает все значения из интервала ~\х0\ X0 -f б[, т. е. если выполняется неравенство 0 ... х — X0 ... б (рис. 22), то говорят, что X принадлежит проколотой правой б-полуокрестности
ТОЧКИ X0, ИЛИ X ... Uf(X0).
24
Q1 а5 а5 ац az X0-S Х& X Х0+$ Х0-5 X0 X х0+8
Рис. 18 Рис. 19 Рис. 20
X0 X Хв+$ X0 л -N 0 N X
Рис. 21 Рис. 22 Рис. 23
5. Если точка х принимает все значения, по абсолютной величине превосходящие некоторое положительное число N9 т. е. если выполняется неравенство то говорят, что х принадлежит проколотой
N-окрестности бесконечности, или х ... Un (со) (рис. 23).
3°. Сформулируйте в неравенствах и сделайте схематические чертежи:
1) X ^ U6 (х0) —это значит, что ...;
2) X € U^ (х0) —это значит, что
3) X € Un (+ со) —это значит, что
4) X € Un (—со) —это значит, что ... .
4°. Закончите определения и сделайте схематические чертежи:
1. Число уо называется пределом функции у = f (х) при х, стремящемся к х0 (в точке х0), если для любого положительного є найдется такое положительное число O, что \f (х)—у0| ... є,
как только 0 ... \х — х0\ ... б, или (V е> 0) (3 б > 0) : (х 6 U0 (х0)=> ...), т. е. HiTIf(X) = у0.
2. Пределом функции у = f (х) при х, стремящемся к + со, является — со, т. е. Hm / (х) = — со, если для любого положительного
числа N найдется положительное число M такое, что f (х) ... — M9 как только X ... N9 или (V N > 0) (3 M > 0) : (х Є UN(+ со) => =>f(x)...-M).
