Задачник практикум по математическому анализу - Егерев В.К.
Скачать (прямая ссылка):
прямой а = {/; т; п}.
7°. Прямые заданы уравнениями
X-Ci1 у —b1 Z-C1 тт X —а2 _у —b2 Z — с2
1. Напишите формулу, позволяющую найти угол ф между ними: cos ф = ... .
2. Сформулируйте: а) условие параллельности; б) условие перпендикулярности этих прямых.
8°. Закончите утверждение:
Параметрические уравнения прямой с направляющим вектором
а = {/; т\ п), проходящей через точку M0 (х0; у0; Z0), имеют следующий вид: ... .
9°. Даны прямая ^-=^ = ^^-° = lizll и плоскость
і т п
Ax + By + Cz + D - 0.
1. Укажите верную формулу для вычисления величины угла между ними:
Ax0 + By0 + Cz0#
а) cos ф = ±
б) sin ф = ±
]/> + Я2 + С2 '
_Al + ffm + __
Va2 + я2 + с2. ]/"/2 + m2 +
2. Сформулируйте: а) условие параллельности; б) условие перпендикулярности этих прямой и плоскости.
II. Примеры и упражнения
1. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку А (1; 2; 3) перпендикулярно:
1) вектору а = {3; 4; 5};
2) прямой КМ, где К (—1; 2; 1) и M(I; —2; —1);
3) горизонтальной плоскости;
4) фронтальной плоскости;
5) профильной плоскости.
2. Какие из нижеперечисленных векторов перпендикулярны плоскости Зх + 2у — 5z + 17 = 0: 1) а = {3; 2; 5}; 2) Ь= {3; 2; —5};
3) с = {6; 4; -10}; 4) d = {-1,5; -1,2; 2,5}; 5) ? = {6; 2; -5}?
3. Вычислите косинус угла между плоскостью 4х — 5у + 3z —
— 1 = 0 и плоскостью X — 4у — z+9 = 0.
4. Дана плоскость 2х + Зу — z — 3 = 0. Какие из плоскостей:
а) X + 2у + 6z — 1 = 0; г) \х + 6у — 2z + 1 = 0;
б) х — у — 2 + 2 = 0; д) X + Зу — Z + I = 0;
в) х — 2у + 8г + 1 = 0; е)х + |у- -1г+5 = 0
1) параллельны данной плоскости;
2) перпендикулярны ей?
5. Найдите отрезки, отсекаемые плоскостью х — Зу + 2г — 6 = 0 на координатных осях.
6. Найдите отклонение точки Q (2; —1; 1) от плоскости: а) Ъх —
— Зу + z — 18 = 0; б) X + 5у + 12z — 1 = 0; в) х + 4у + г + 1=0.
7. Напишите уравнение прямой, если она проходит:
—>-
1) через точку M (3; 2; 1) и коллинеарна вектору а = {4; —I;* 0};
2) через начало координат и коллинеарна вектору а = {4; —1;0};
3) через точку M (3; 2; 1) и параллельна оси Ох. (Какой смысл имеет 0, стоящий в знаменателе?)
8. Какие из нижеперечисленных векторов коллинеарны данной
„ х + 2 у— 1 z
прямой —— =--= —:
3—2 1
а = {-3; 2; -1}; 1 = {6; -2; 4}; с = {-2; 1; 0}; d = (9; -6; 3}
18
9. Определите угол между прямыми
х— 1 _ у _ z + 3 X _ у + 2 _ z
1 ~~ — 4 ~~ 1 2 ~~ — 2 ~~ — 1"
Решение.
1. Координаты направляющего вектора первой прямой:
2. Координаты направляющего вектора второй прямой:
3. Выпишем формулу
COS ф = ±
или
X1X2 + У1У2 + Z1Z2
COS ф = ±
V A + y\ + *\-V 4 + Я + ъ
2
для вычисления косинуса угла ф между прямыми
X-X1 у — уг z~Z1 и х— х2 = у—у2 _ Z-Z2
I1 TTl1 Ti1 I2 TYl2 Tl2
4. Величина угла между прямыми: ф = ... или ф = 10. Докажите параллельность прямых
je—1 у —2 z+3 je+1 у —2 z+1
4 —6 9 2 —3 3
11. Докажите перпендикулярность прямых
X _ у — 1 _ Z + 1 л — 2 _ у + 2 _ 2 — 1 2 —З 1 5 ~ 4 2 '
12. Найдите точку пересечения двух прямых
х + 2 _ у__z — 1 х — 3 _ у — 1 _ Z-7
2 ~ — 3 ~~ 4 И 3 ~~ 4 ~" 2 ' Решение.
1. Параметрические уравнения первой прямой: ... .
2. Параметрические уравнения второй прямой: ... .
3. Значения параметров, соответствующих точке пересечения прямых: ... .
4. Координаты точки пересечения данных прямых: ... .
13. Найдите точку пересечения прямой х~ 12 = = г~ 1
4 3 1
и плоскости Зх + 5у — z — 2 = 0. Решение.
1. Параметрические уравнения прямой: ... .
2. Значение параметра, соответствующего точке пересечения дан* ной прямой и данной плоскости: ... •
3. Координаты искомой точки: ... .
14. При каком значении коэффициента А плоскость Ax — 2у + + Зг — 1 =0 будет параллельна прямой —— = —^- =—у-?
19
15. При каких значениях коэффициентов Л и В плоскость Ax + By — 3z — 7 = 0 перпендикулярна прямой -= =
2 —4
г —
~ 6
16. Составьте уравнение плоскости, проходящей через прямую
— =^2=2-+2 и точку Л (4; 5; 1). 12 3
Решение.
1. Уравнение плоскости, проходящей через точку Л (4; 5; 1): ... ,
2. Условие параллельности данной прямой и искомой плоскости:
3. Условие принадлежности точки, через которую проходит прямая, плоскости: ... .
4. Выразим два коэффициента из двух уравнений с тремя неизвестными через третий коэффициент: ... .
5. Подставим найденные значения ... в уравнение искомой плоскости: ... .
6. Уравнение искомой плоскости: ... •
III. Упражнения для самостоятельного решения
1. Составьте уравнение плоскости, которая проходит через начало координат и имеет нормальный вектор п = {1; 2; —3}.
2. Составьте уравнение плоскости, которая проходит через точку
M (3; 4; —5) параллельно двум векторам ах = {3; 1; —1} и а2= {1;-2; 1}.
3. Какие из нижеперечисленных плоскостей взаимно перпендикулярны, а какие взаимно параллельны:
