Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
—ft О
Здесь выбрана верхняя полуокружность. Перейдем затем к пределу при R ->оо, тогда второй член справа, равный криволинейному интегралу по полуокружности бесконеч- 298 ГЛАВА 7. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Il
ного радиуса, обратится в нуль, поскольку подынтегральная функция стремится к нулю.
Применяя теорему о вычетах (7.9), получаем
— OO
!
dx п . 1
Т+Т*=2ш-2T= я-
(7.14)
— 00
Здесь мы воспользовались тем, что вычет в точке Z = Ї, которая оказалась внутри контура интегрирования, равен
о-/
Рис. 7.4. Замыкание контура полуокружностью бесконечным радиусом.
ol і = 1/2 і. Читатель может самостоятельно убедиться, что при замыкании контура в нижней полуплоскости интеграл по-прежнему равен я.
Рассмотрим более сложный интеграл
OO
/
(7.15)
Указанный интеграл равен половине мнимой * части интеграла
U
OO
S
—00
iiz dz
(7=16)
* Можно взять и интеграл J [(е*2 — е iz)/2iz] dz, но тогда для двух разных экспонент нужно будет использовать два различных контура, как это сделано при вычислении интеграла (7.27), ?.2. fEUPttfl ВЫЧЕТОЙ
299
Подынтегральная функция имеет только один простой полюс в точке 2 = 0, вычет в которой в соответствии с (7.126) равен a_i = 1. В качестве контура интегрирования выберем контур, показанный на рис. 7.5. Такой контур позволяет изолировать особую точку, кроме того, в контур входит вещественная ось, по которой производится интегрирование в искомом интеграле (7.15), и, наконец, подынтегральная
грала (7.15).
функция становится исчезающе малой для z — iy при у ->оо. Отметим, что в этом примере замыкание контура в нижней полуплоскости не приведет к нужному результату. Интеграл по контуру на основании теоремы о вычетах равен нулю
+ = (7.17)
-R C1 г C2
В пределе при г—>0 и R—> оо получим
OO Л Jl
Г e*dx= f idQ_lim Г еійcosее-йSinei^!. /7Л8ч
J X J я-со j Rei9 v '
—оо О О
В последнем интеграле подынтегральная функция стремится К нулю При R-^-OO в открытом промежутке О < 0 < п (концы интервала, О и я исключаются). Поскольку подынтегральная функция только в бесконечно малой области достигает своего максимального значения, равного единице, этот интеграл равен нулю. Выделим в выражении
ЗоО f л А в»А 7. функций комплексного переменного П
(7.18) мнимую часть, тогда
OO OO
!Sin Xj f Sin X j Л /-rim
ах = я, или \ — = (7.19)
—оо о
Отметим, что процедура с предельными переходами вновь понимается в смысле вычисления главного значения. В частности, можно убедиться, что
OO
j ^dx = 0. (7.20)'
—OO
Контур, изображенный на рис. 7.5, не единственный. В упр. Il к этому разделу для вычисления интеграла (7.15) использован другой контур. Вычислим интеграл
OO
/= J ^dX, 0<в<1. (7.21)
— 00
Ограничение параметра а необходимо (и достаточно) для сходимости интеграла при *-»¦ ± оо. Этот интеграл можно
-R +2ПІ У, і Ri- 2 Jii
-R R
X
Рис. 7.6. Контур интегрирования при вычислении интеграла
(7.21).
вычислить, заменяя вещественную переменную X комплексной г и затем интегрируя по контуру, показанному на рис. 7.6. Предельный переход R-* оо вдоль вещественной оси даст требуемый интеграл. Обратный путь вдоль линии Х = выбран с таким расчетом, чтобы знаменатель подынтегральной функции остался неизменным, а в числителе появился постоянный множитель еі2яо. В комплексной 1.2. ТПОРИЯ ВЫЧНТОВ
301
плоскости .
Ii R
§aCLZ / (» рях j* рох \
= 5 ^dx'^ і TTi5 ) =
n^ -R -R
OO
-OO
Кроме того, имеется еще два вертикальных отрезка пути (О у 2л), интеграл по которым исчезает (экспоненциально) при R-+00.
Определим полюсы подынтегральной функции и вычеты в них:
er - e*eij' - —I. (7.23)
Это уравнение удовлетворяется при 2 = 0 + ія. Разложив затем функцию в ряд Лорана по степеням (г — /я), убеждаемся, что особая точка должна быть простым полюсом с вычетом—е*яа в ней. Тогда, применив теорему о вычетах, получим
со
!Рах
уф^dx ~ 2ш (— е1ЛП). (7.24)
— 00
Отсюда сразу следует, что
KJ) і
rtflDC ff
= Ocac 1. (7.25)
l+eK sinan' \ /
-OO
Используя бета-функцию (см. разд. 10.4), можно показать, что интеграл (7.25) равен произведению (а—1)1 (—а)! Это приводит к интересному и полезному соотношению из теории гамма-функции:
а\ (-a)! = (7.26)
х ' sinna v '
Результат (7.25) справедлив для вещественного а из области 0<a< 1, однако с помощью аналитического продолжения соотношение (7.26) можно распространить на любые а, вещественные и комплексные, за исключением целых вещественных значений. >
302 г Ji А В А 7. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО IlEFrEMEHHOl O 11
В квантовой теории рассеяния встречается функция
oo
' (°) = J Чї^г . <7-27>
— 00
где о — вещественное и положительное. Из физических условий следует, что функция / (а) должна иметь форму еі0, так как это — расходящаяся рассеянная волна. Воспользуемся соотношением
sin Z = 4-sh /'z = ~г еіг-~е-іг (7.28)
и перепишем интеграл (7.27) в комплексной плоскости в виде
