Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
/ (s)« ei$v° ^ g (z) е™ <*• у) dz. (7.89)
с>
320 Г Jl A t3 А 7. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЮ ПЕРЕМЕННОЮ П
Вдали от максимума реальной части мнимая часть можег изменяться как угодно, поскольку это почти не влияет на значение интеграла (изменение фазового множителя в данном случае не играет никакой роли).
Реальная часть произведения s/ (г) достигает максимального значения при заданном s, когда максимально значение Ref (г). Это означает, что
S-S-0. <7-90>
и, следовательно, с учетом условий Коши —Римана можно записать
df (г)
dz
= 0. (7.91)
Обратимся теперь к исследованию этих нулей производной. Заметим, что максимальное значение и (*, у) достигается только на заданном контуре. В ограниченной области ни реальная, ни мнимая части аналитической функции не имеют абсолютного максимума. В этом можно убедиться, если вспомнить, что UHV удовлетворяют уравнению Лапласа
Поэтому если d?u/dx2 > 0, то d2uldy2 < 0, следовательно, ни и, ни V не может достигать абсолютного максимума или минимума. По условию f (г) — аналитическая функция, следовательно, особые точки исключаются. Тогда условие (7.91) означает, что мы имеем седловую точку, в которой и (х, у) может принимать максимальное значение на одном контуре и минимальное на другом.
При выборе контура интегрирования необходимо выполнить условия: 1) на линии интегрирования и (х, у) имеет максимум в седловой точке; 2) и (.х, у) проходит через седловую точку так, чтобы Im и (х, у) оставалась постоянной *. Второе условие приводит к тому, что путь интегрирования совпадает с линией скорейшего спуска **. Из
* Линия скорейшего подъема также характеризуется постоянным V1 поэтому седловая точка нуждается в дополнительном исследовании, чтобы отличить линию скорейшего спуска от линии скорейшего подъема. Этот вопрос обсуждается дальше в двух примерах.
** Метод перевала называют также методом скорейшего спуска или методом седловых точек.— Прим. перев.t
7.4. МЕТОД ПЕРЕВАЛА
321
разд. 6.1 (см. упр. 3) и 6.6 известно, что кривые, соответствующие и = const и V — const, образуют ортогональную систему. Это означает, что кривые v = Ci всюду каса-тельны к градиенту и. Следовательно, кривая v — const дает линию скорейшего спуска в седловой точке (рис. 7.14).
и(Х,у)
В седловой точке / (г) может быть разложена в ряд Тейлора
f (г) = f (2b) + J (г - Zo)2 Г (Z0) . . • (7.93)
В силу условия (7.91) здесь отсутствует первая производная. Первый поправочный член (z — Z0)2 /" (z0)/2 представляет собой вещественное отрицательное число. Последнее следует из того, что в соответствии с выбором контура мнимая часть сохраняет на нем постоянное значение,
21-1257322 ГЛАВА 7. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО И
а поскольку мы движемся по контуру вниз от седловой точки, то поправка отрицательна. Тогда, предполагая, что Г fo)) Ф 0, получаем соотношение
і (г)-і (Z0) г0)Т (г0) = —5-1\ (7.94)
которое можно рассматривать как определение новой функции t. Если далее записать z — Z0 в полярной форме
2—z0 — 6е*а (7.95)
(где аргумент а остается постоянным), получаем
f8 = —sn*o)o'e8ia.. (7.96)
Поскольку t вещественное*, можно записать
* = ±o|sf(2o)l1/2. (7.97)
Подставим (7.97) в уравнение (7.86):
OO
I(S)^g (Z0) e8'<*0> j е-<2/2 ^dt. (7.98)
—со
Учитывая далее, что
S-(fГ-(Sir1-I^T<™9>
приведем уравнение (7.98) к виду
/ (S) ~ g(^o)es/(zo) eiq Г (2/2 dL (7 100)
w I Sf (Zn)11/2 J v '
—оо
Обратим внимание, что интегрирование здесь ведется от —оо до +оо, Это вполне допустимо, так как подынтегральная функция по существу равна нулю при достаточно больших t. Полученный интеграл есть интеграл ошибок Гаусса. Окончательно,
() UI" ' { '
*
Аргумент а в уравнении (7.95) введен как аргумент контура, проходящего через седловую точку. Он выбран таким, чтобы
* Аргумент контура а в седловой точке выбирается из условия Im f/ (z) — / (Z0)J = 0, т. е. (г — Z0)2 /" (Z0)/2 вещественно.7.4. МЕТОД ПЕРЕВАЛА
323
а было постоянно и Re / (z) — максимальна. Иногда контур последовательно проходит через две или более седловые точки. В этом случае необходимо учитывать дополнительный вклад от каждой седловой точки в общий интеграл.
Напомним о предположении, что существенный вклад в интеграл вносит только область, расположенная в непосредственной близости от седловой точки Z = Z0t т. е. Re I/ (г)] = а (х, у) и (х0у0) вдоль всего контура вдали
h
,Z=і
--- /Іиния разреза
» z=-/ JC
Рис. 7.15. Контуры интегрирования для функции
Ханкеля.
от точки Z0 = X0 + іу0. Это условие нужно проверять для каждой конкретной задачи.
В разд. 11.3 показывается, что функции Ханкеля, которые удовлетворяют уравнению Бесселя, можно представить интегралами
— OO
Wt0(S) = -^r j eW«'-1/4-SJT по C1, (7.102а)
О О
н[2)(S) = ± j по C2, (7.1026)
— 00
контуры Ci и C2 представлены кривыми в верхней и нижней полуплоскостях (рис. 7.15). Применим метод перевала к первой из функций Ханкеля Н™ (s), которую удобно представить в форме интеграла (7.86), если