Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
bi = а"4 (— 5а^3 + бад^2—я^Г1)»
что согласуется с результатом, полученным в разд. 5.7.
Бесконечные произведения. На основании интегральной формулы Коши и теоремы о вычетах
OO
Ш-Шо^^+З «-«(»-**)¦ (7.56)
Cm k=l
Здесь f (г) — функция, аналитическая всюду, за исключением изолированных (первого порядка) полюсов z — Zjlt
k = 1, 2, 3, . . ., т. Индекс k выбран так, что |z|i< ^ I z21 I К - • . Контур Cm представляет собой окружность с центром в начале, причем все полюсы z — — zu z2t Z3 попадают внутрь контура. Формула (7.56) получается после интегрирования по деформированному контуру, который показан на рис. 7.10. Вычет функции
j (7.55 312 ГЛАВА 7. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО И
/ (z)/(z — z0) в точке Z == Zh равен
а., = Iim ІЇ^ШІ =M^M1 (7.57)
2—zO zft—zO
где — вычет функции f (z) в точке Z = Zft. С помощью (7.57) формулу (7.56) можно записать так:
те
(7-58)
Cm Ь=1
Для исходного интеграла справедливо тождество
1 & Пг) d?_ 1 &!{z)dz 1 1 & z°f{z)dz (7W\
2Пі § I=T0a2Sti $ + 9 2(2-го) ' Cftt Cm Cm
Подставляя (7.58) в первый интеграл в правой части (7.59) и полагая Z0 = Oi получаем
tn
= + (7.60)
Cm
Далее, если при | z | оо f (z)/z2 спадает быстрее, чем Z"1, то второй интеграл в правой части уравнения (7.59) будет стремиться к нулю по мере бесконечного увеличения радиуса контура Cm (т-+ оо). Затем, подставляя (7.60) в уравнение (7.59), а полученный результат — в уравнение (7.58), будем иметь
h=\
Следующий шаг состоит в замене f (z) функцией, более удобной для вычислений. Пусть g (z) — функция, аналитическая всюду в комплексной плоскости, с простыми нулями в изолированных точках Z-Zk. Построим функцию
M-^f-f. (7.62)-
Эта функция будет удовлетворять условиям, при которых справедливо уравнение (7.56). Вычеты Ь.і функции g'lg равны единице во всех полюсах Zft, поэтому уравнение (7.61) 7.3. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ 313
переходит В.
8' (*) g' (0) , V / 1
OO
8 (Z) 8 (O)
+ + (7-63)
h=\
Нулевой индекс при Z0 здесь опущен, поскольку в нем уже нет необходимости. Проинтегрируем (7.63) от О до г:
OO
ln*W = ln*(0)+?iJ2+2 [h,(l~±)+.i]. (7.64)
ft= 1
Переходя к экспоненциальной форме, запишем
OO
OO
= (7.65)
где g (z) выражена в виде бесконечного произведения.
Этот окончательный результат иногда называют бесконечным произведением Вейерштрасса. При использовании этой формулы следует помнить, что функция g (г) должна быть аналитической во всей комплексной плоскости и иметь простые корни в точках z = zh. Кроме того, отношение g' (z)lzg (г) должно стремиться к нулю при I г I ОО.
Пример. Представим функцию
sin г
(7.66)
в виде бесконечного произведения. Предварительно заметим, что g (z) a=sin z/z не имеет особенностей в любой конечной области комплексной плоскости, простые корни этой функции равны z — ±kn, k = 1,2, 3,... Следовательно, Zjl-± kn, Поскольку g (O) = 1 Hg'(O) = O, уравнение (7.65) приобретает вид
ft= і fc=l Это более общая запись уравнения (5.155). 314 ГЛАВА 7. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО И
Устойчивость усилительного контура. На рис. 7.11 схематически показан усилитель с обратной связью. Входной и выходной сигналы равны соответственно Ea и E0. Некоторая часть выходного сигнала ?E0 (? может быть
— ? ( S Eg А Eq >
-
Рис. 7.II. Усилитель с обратной связью.
комплексной величиной) подается опять на вход, где складывается с входным сигналом Es. Сумма Eg представляет собой действительный входной сигнал, подаваемый на усилитель,
Eg = Es + $E0. (7.68)
Кроме того,
E0 = AEgf (7.69)
где А — коэффициент усиления. Так же как и ?, А может быть комплексным. И Af и ? могут зависеть от круговой частоты со входного и выходного сигналов. Подставим в (7.69) конкретное значение Eg из (7.68):
E0 = АЕа-\-AfiE0. (7.70)
Неустойчивость работы контура (колебания и т. д.) характеризуется наличием некоторого сигнала на выходе без подачи какого-либо сигнала на вход, т. е. ?« = 0, a E0=^O. Из уравнения (7.70) условие неустойчивости запишется так:
I — Л (со) ? (ш) - 0. (7.7I)
Здесь в соответствии с условием задачи Re о > 0.
Если корень уравнения f (z) — I — А (г) ? (г) = 0 расположен на положительной части вещественной оси, мы имеем экспоненциально возрастающую неустойчивость, Если это уравнение имеет комплексное решение, расположенное в правой полуплоскости, неустойчивость будет осцилляторной. 7.3. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ
315
Разность между полным числом нулей N и полюсов P функции, повторенных столько раз, какова кратность нуля или полюса, дается интегралом*
(7J2)
где N и P — нули и полюсы внутри контура С. Для доказательства (7.72) рассмотрим нуль п-то порядка функции / (г) в точке г — Z1. Тогда
((Z) = (Z-Zl)nS(Z). (7.73)
Продифференцируем это равенство
f (Z) = n(z- г,)»-1 g (Z) + (Z- ZiT g' (Z), (7.74)
после чего подынтегральную функцию из (7.72) запишем в виде
f^JLL + m. (7.75)
f(z) Z-Zi g (Z) v '
Интегрируя ПО КОНТуру Cj BOKpyr ТОЧКИ Zil ПОЛуЧИМ КрЗТ-ность нуля в этой точке:
