Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
Преобразование (6.88) имеет наглядную интерпретацию. Если перемещаться в z-плоскости вдоль единичной окружности, то на основании (6.89) и = к» = In г = 0, но V — G, причем 0 моно-
I тонно возрастает сначала до 2л,
а затем продолжает непрерывно расти и сверх этой величины. При последовательном перемещении по окружности в z-плоскости получается движение, аналогичное движению вращающегося винта или движению по спирали (рис. 6.17). Вследствие многозначности In z
интеграл $ -у ~ 2пі ф 0. Внутри
m^m контура интегрирования содержится начало координат. Этот
Рис. 6.17. Многознач- результат уже встречался в разд. 6.3 ность функции In z. (упр. 1 и 8), в гл. 7 он используется
для вычисления вычетов.
Упражнения*
1. Показать, что отрицательные числа имеют логарифмы в комплексной плоскости. В частности, убедиться, что In (— 1) = їя.
2. Во что отображаются окружности с центром в начале координат z-плоскости преобразованиями
(г)=2+~~ , Щ(Z)=Z- (г=?0).
Рассмотреть случай | z J —> 1.
3. Рассмотреть преобразования
W (z) = sin г, W (z) = sh г, w (z) = cos z, w (z) = ch z.
Найти отображение прямых X=Ci, у —C2 на ш-плоскость (отметим, что последние три преобразования получаются из первого переносом или вращением).
4. Почему функции to (г) = z1 ^2 и до (z) = Inz не могут быть разложены в ряд Лорана в окрестности начала координат?
б. Показать, что функция w (г) == (г2—1)1 ^2 аналитична, если разрезать плоскость вдоль линий — 1<х<1,
у = 0 или — оо<*<— 1 и 1<Х<оо, 1/=0.
* Дополнительные примеры на отображение приведены в гл. 11—13. б.«'». коіїФоЬмііоп отображений
275
6. Какая* часть z-плоскостп соответствует внутренности единичного круга в ю-плоскости, если
Z— 1 z—i ~
W = —— ?
Рис. 6.18. Контур интегрирования в интегральном представлении функции Бесселя.
7. Интеграл, представляющий функцию Бесселя, берется по контуру (рис. 6.18) в if-плоскости. Отобразить этот контур на 8-пло-
скость, если f=e6.
»
6.6. КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
В разд. 6.5 мы установили, что гиперболы отображаются в прямые линии, а прямые линии — в окружности. Однако все эти преобразования были аналитические. В силу аналитичности W = f (z) имеем
df dw Ддо /cnu
Tz^Tz=hmTz- <6'91)
аг аг Дг-+0 az
Применяя полярную форму записи этого уравнения, приравняем отдельно друг другу модули и аргументы *, напри-
* В дальнейшем аргумент функции f будем обозначать arg /.
18* 27с) г л a ti л 6. функций Комплексного mzpizMiiimoi о t
мер для аргумента (при условии d\i Az-/-{))
.. A W «. Aay
arg lim jr-= lim arg -j--
/\2-v() ^2 л7-+і)
df
= lim argAoy— lim arg Az — arg— --- a, (6.92)
Дг->()
Az->0
где аргумент производной, a может зависеть от z, но при фиксированном г он постоянен и не зависит от способа приближения Az к нулю. Чтобы убедиться в важности последнего замечания, рассмотрим две кривые, Cz в z-плоскости
®
Рис. 6.19. Конформное отображение. Свойство сохранения углов.
и Cw в до-плоскости (рис. 6.19). На этом рисунке приращение Az расположено под углом 0 к вещественной оси х, а соответствующее ему приращение Aw образует угол ф с вещественной осью и. Из уравнения (6.92) следует, что
Ф-0 + a, (6.93)
т. е. любая линия в z-плоскости поворачивается на угол a в до-плоскости, если только преобразование аналитично и производная отлична от нуля *. Этот результат справедлив для любой линии, проведенной через Z0, поэтому его можно применить и к двум линиям, тогда угол между ними равен
Ф2 - Фі = (02+ а) - (01+ а) = Є2 - 0Ь (6.94)
* Если производная dfjdz = 0, то ее аргумент является неопределенной величиной и преобразование (аналитическое) может не сохранять углов. o.r». КОНФОРМНОЇ- ОТОВРАЖЁНИП
откуда видно, что аналитическое преобразование не меняет угла. Преобразования, которые не изменяют углов, называются конформными. Угол поворота а, вообще говоря, зависит от z. Кроме того, | /' (z) | -— также функция г. Следовательно, хотя углы и сохраняются, сами координатные линии могут деформироваться. Именно это свойство положено в основу введения новых координатных систем.
2 2
X-У =С2
®
U=Cz
I
—Г---
« I
-4-—X. I I
-J___X
I
--I—4-I I
и
Рис. 6.20. Конформное отображение, гиперболические
координаты.
В связи с широким применением конформных отображений при решении уравнения Лапласа в задачах электростатики, гидродинамики, теплопередачи и т. д. указанные преобразования имеют исключительно важное значение в науке и технике. Предположим, что мы решаем физически абсурдную, но математически простую задачу определения линий электрического поля и эквипотенциальных линий (поверхностей) между двумя гиперболическими поверхностями, сечения которых заданы в виде: х2 — у2 = Ci с потенциалом Vi и X2 — у2 — C2 с потенциалом V2 * (рис. 6.20). Известно, что эквипотенциали и линии электрического поля взаимно перпендикулярны (см. рис. 6.20), но при таких необычных
* Комплексное исчисление связано с плоскостью, т. е. является двумерным. Электростатические силы трехмерны. Мы ликвидируем это несоответствие, рассмотрев поперечный разрез цилиндрической системы, т. е. условившись, что в направлении третьего измерения /, перпендикулярного к X и у, картина не меняется. 278 ГЛАВА 6. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО ІП
