Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
Чтобы получить преобразование Шварца — Крнстоф-феля, рассмотрим функцию
^ = (6.120)
где А — некоторая комплексная постоянная; Iti — вещественная постоянная; Wi — некоторая точка на вещественной оси и. Аргумент производной определяется так:
(argA-kiU, w<wu
л (6.121)
arg Л, до > Wi
при перемещении W вдоль вещественной оси; arg (до — доА) = = л для до < Wi и arg (до -Wi) = О для до > доь т. е. при
dz
ar^ Iw ~
®
Vi
J^L
Wf
(X1-Ic1JC
Рис. 6.24. Преобразование Шварца — Кристоффеля.
перемещении до вдоль оси и в положительном направлении аргумент dzldw скачком переходит через величину ^1Jt (рис. 6.24), когда до проходит точку Wi. Вспоминая результаты разд. 6.6, в частности рис. 6.19, мы замечаем, что arg А до — 0. Следовательно,
Г arg A-kin, до<до„ агеДг=< , (6.122)
te I arg Л, до>доі. v '
Поскольку А постоянно, arg А — также постоянная величина. Поэтому в z-плоскости получаем два прямолинейных отрезка, которые образуют внешний угол а! = kin.
Множитель (до — Доі)"^1 в уравнении (6.120) соответствует одной вершине многоугольника. Взяв п множителей 6.7. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ШВАРЦА - КРЙСТОФФЁЛЯ 287
такой формы, можно построить /г-угольник:
^L= A(W-Wi)-hI(W-W2)-hZ... (w-wn)-h* (6.123) при ограничивающем условии
благодаря которому сумма внешних углов оказывается равной 2я. Интегрируя уравнение (6.123), получаем
2= А \ (W-Wi)-h^(w—w2)~h* ... (w — wn)~hndw~\-B.
Комплексная постоянная А позволяет поворачивать и ориентировать требуемым образом многоугольник в г плоскости, а комплексная постоянная интегрирования В обеспечивает необходимый сдвиг в этой плоскости. Многоугольник в плоскости Z можно определить заданием п его вершин, что означает задание 2п фиксированных постоянных. Однако уравнение (6.125) имеет 2п+4 параметра: п для Wu п для kif 4/(2я + 4) для А и В. Благодаря условию (6.124) число параметров уменьшается на единицу, так что остается 2п-\-3 параметра. Следовательно, три особые точки Wt можно выбрать произвольно, тогда остальные параметры оказываются однозначно определенными. Обычно три произвольные Wi выбирают таким образом, чтобы упростить вычисление интеграла (6.125).
На рис. 6.25 проиллюстрировано отображение вещественной оси в до-плоскости на «треугольник». Из этого рисунка очевидно, что
п
2 Ъ = 2,
(6.124)
го
(6.125)
(6.126)
Для удобства положим Wi = -If W2= +1 и W3-* оо, постоянную А выберем такой, чтобы скомпенсировать W3. В этом случае интеграл Шварца — Кристоффеля t
288 r JI Л В A 6. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОЮ !
(6.125) примет вид
W
z = A J (до1)-*/2 (до-— I)-'/2dw-j- В ™
W
= A J (W2-I)-t^dW-І В. (6.127)
Проинтегрируем
2- A Arch до -ь в, (6.128)
Постоянные А и B вычисляются после подстановки значений 0/=-1, г = іа и до = 4-1, 2 = 0. Последнее условие
У, ? 1
3 1 J Sgl2 vi 2 -Ъ 3 4 —о-U—
^tii » -
Рис. 6.25. Отображение вырожденного треугольника с помощью преобразования Шварца — Кристоффеля.
означает, что B = O, поэтому
ch-^-cos — = -1, (6.129)
откуда следует, что А —а!к. Окончательно
W = ch^. (6.130)
Верхняя полуплоскость до отображена на внутренность1 полубесконечной полосы.
На рис. 6.26 показано отображение вещественной оси J в до-плоскости на «треугольник». Снова с помощью рисунка5 Б.1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ШВАРЦА - К.РИСТОФФЕЛЯ 289
задаем параметры
Ct1-ki—>1; а3 —>n, k3
1, (6.131)
и, кроме того, поскольку а2 ->- 0, /е2 0, один множитель в интеграле (6.125) полагаем равным 1. Учитывая это и по-
У
Z 7 у=а 6
¦—. 4
5" *
-X0^-OO 1/ X0-^oo
1Ы.
-1
4 5K6
H
и
Рис. 6.26. Отображение дважды вырожденного треугольника с помощью преобразования Шварца — Кри-
стоффеля.
лагая, как и в предыдущем примере, W1 = — 1, a W3 = + 1, получаем
W
А In ——г—І- + В. (6.132)
г-Л J (W- \pdw + B'- 2 + 1
Постоянные А и В вычисляются при условии W = 0, кото рое соответствует г = О, или
Таким образом, z=ia при ю>->оо, откуда
А
(6.133)
Следовательно,
Ia = -J- lnl + ? = ?.
л \t0-fl/ 1
(6.134)
(6.135)
19-1257 >
290 ГЛАВА 6. ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 1
Отметим, что выбор особых точек (од3 = —1, W{ — 1) приводит к такому соответствию:
— 1 < м < 1, о = Ои — оо < X < оо, у = 0; — оо < а < — 1, U = O и — оо < X < 0, у = а\ 1<и<оо, D = Oh 0<х<оо, у = а.
Другое задание особых точек дает другое преобразование и другое соответствие. В некоторых задачах можно воспользоваться соотношением (6.135) и применить преобразование Шварца — Кристоффеля для отображения многоугольника на две параллельные бесконечные линии. Этот способ пригоден для решения уравнения Лапласа.
Упражнения
1. Получить преобразование w=ez-\~z для илоскопараллельного конденсатора (см. упр. 1 к разд. 6.6), используя преобразование Шварца — Кристоффеля.
2. Используя преобразование Шварца—Кристоффеля, отобразить «многоугольник», ограниченный тремя линиями JC= —а, у — 0, -{-а, на «-ось (сеьплоскость) с особенностями в точках и — ± 1, i» = 0.
