Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
W(Z) = U (х, у) + iv (х, у), (6.106)
* Все граничные линии (поверхности) в плоскости W ограничены, — Однако точкам и= і я, v = v' в плоскости Z соответствует одна и та же точка, так что краевые эффекты отсутствуют. Координата и определена только на отрезке —я и п. >
282 г Л А В А 6. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО I
где и (.X1 у) описывает эквипотенциали, а функция v (xfy) — линии электростатического поля или наоборот. Этот выбор произволен, но он согласуется с выражением (6.103), которое представляет собой специальную форму уравнения (6.106); пусть V (х, у) описывает эквипотенциали, а комплексно-сопряженная функция относится к линиям поля.
Электростатическая емкость на единицу длины, по определению, равна
Q Заряд на единицу длины __ q ~~ Разность потенциалов ~ O2-Oi.'
Определим заряд на единицу длины (на один проводник), исходя из закона Гаусса:
? = е0 j E-ds= — є0 j Vvds. (6.108)
Из условий Коши—-Римана находим:
г».. • до ї . до . ди . . du /с 1лт
^+1 If (6109)
Если записать элемент поверхности ds через
ds=-kx<a, (6.110)
где dl, совпадает с направлением увеличения и (рис. 6.22) а к = і X j, то
U2
Ul
«2
B0J (і|f + j Щ)-dX = B0(U2-U1). (6.111)
Ul
Подставляя полученное выражение для заряда на единицу длины (между Ui и и2) в формулу (6.107), получаем
с(в-112)
Применим соотношение (6.112) к задаче с плоскостью и проводящим цилиндром, тогда электростатическая емкость 6.6. КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
283
на единицу длины окажется равной
2л 2лєо
C = E0
(6.113)
(-) Vn Arch (djr) •
Рассмотрим теперь такую задачу. Между двумя полукруглыми в сечении поверхностями (рис. 6.23) существует
— X
Рис. 6.22. Электростатическая емкость.
разность потенциалов 2V0- Необходимо определить потенциал в любой точке между этими поверхностями.
K1 -OO — Z -ъ-оо
3 г 1
4 7 и 6
v Z (
Рис. 6.23. Заряженные проводящие полукруглые цилиндры.
Полуокружности, лежащие в z-плоскости (x2-f у* = 1, единичный радиус), могут быть отображены на параллель- 284 Г JI A R Л 6. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО I
ные прямые линии в «»-плоскости, причем
а» --In (1?). (6.114)
Мы имеем
„ + ,¦„-_, Initiiig^ln 'Г?-/+*,' ¦ (6.115)
1 1 — x — ty 1 — 2х 4 Xі-]- у2 4 '
Заменим (I-JC2 -0» + 2xyi)l(\ -2х + л:2 у2) на tfeia:
и + iv = Ini? -и"а, (6,116)
где
V = a= arctg ^iH+у2) ¦ (6.117)
Отображение верхней и нижней полуокружностей происходит в соответствии со следующими соотношениями (см. рис. 6.23):
arctgT^fe) ^-T- (6-118'
Потенциал оказывается равным
V Varete Г 2у 1 -
у- я JTarct^ L !-(*»+я J""
0<г<1. (6.119)
Эта задача легко решается методом разделения переменных в цилиндрических координатах. Искомый потенциал получается в виде бесконечного ряда. Преимущество метода конформного отображения заключается в том, что решение в этом случае отыскивается в замкнутой форме.
Читатель может убедиться, что переменная а изменяется в пределах — оо < и < оо, а это означает, что электростатическая емкость бесконечна. 6.7. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ШВАРЦА - КРИСТОФФЕЛЯ 285
Упражнения
1. Показать, что преобразование w = ez-]-z отображает бесконечные прямые //-•-= dl я на нолубесконечныс прямые Uq, V -- :1z я. Это эквивалентно преобразованию бесконечного или ограниченного плоскопараллельного конденсатора (в z-плоскости) в плоскопараллельный конденсатор (в го-плоскости). Нарисовать расположение эквипотенциален вблизи краев пластин конденсатора.
Определить линии электрического поля как функции и в плоскости, нейтральной по отношению к пластинам конденсатора (при »0 = 0).
2. Каким образом преобразование ег = (а — w)l(a~rw) трансформирует координатные оси комплексной z-плоскости? Какая координатная система из гл. 2 вводится таким преобразованием?
3. В электростатике эквнпотенциали задают уравнениями и (х, у) = Cj, причем M = Reio(z). Показать, что электрическое поле E определяется как \E\—-\dw(z)/dz\.
4. Функция W (z) аналнтнчпа и имеет отличную от нуля производную в точке to0 —io(z0). Доказать, что существует функция Z = Z (го), обладающая свойствами
, . dz (diо Х-*1
Z0 = Z(W0), -JJ=^j ,
w = w[z(w)], Z = Z [со (Z)].
5. Проводящий цилиндр единичного радиуса помещен в однородное электрическое поле E0. Ось цилиндра перпендикулярна к направлению поля. Используя преобразование io = z +1/г, определить возмущенный электростатический потенциал. Как изменится закон преобразования, если радиус цилиндра 1?
6. Тонкая, плоская проводящая полоса шириной 2а имеет потенциал относительно земли Vo- Определить линии постоянного потенциала, линии электрического поля, распределение электрического заряда в зависимости от расстояния до осевой линии проводника.
6.7. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ШВАРЦА-КРИСТОФФЕЛЯ
Преобразование Шварца — Кристоффеля реализует отображение вещественной оси ку-илоскости па любой требуемый многоугольник в z-плоскости, причем верхняя полуплоскость W (v > 0) отображается на внутренность этого многоугольника. Обратное преобразование в этом случае отображает многоугольник из плоскости г на верхнюю полуплоскость w. С помощью этого преобразования обычно производится конформное отображение многоугольных фигур, включая различные вырожденные случаи. 286 ГЛАВА 6. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО ІП
