Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
/(a)«/, + Zjl (7.29)
где
oo 00
-OO —00
Интеграл Ii аналогичен интегралу (7.15). Для Z1 дополним контур интегрирования полуокружностью бесконечного радиуса в верхней полуплоскости. Подынтегральная функция в I2 содержит отрицательную экспоненту, поэтому мы замкнем контур интегрирования полуокружностью в нижней полуплоскости (рис. 7.7). Как и в случае интеграла (7.15), интегрирование по этим полуокружностям не вносит никакого вклада в интеграл.
Подынтегральная функция имеет полюсы в точках г = + а и Z = —а, которые лежат непосредственно на контуре интегрирования. Вычеты в этих точках для Ii равны соответственно ei0/2 и е_І0/2, а для I2 равны е~іа/2 и еі0/2. Совершая обход особых точек, как показано на рис. 7.7 (снизу или сверху — несущественно), и пользуясь теоремой о вычетах, получаем
<>~пі (тг) ?+1"" (і) т=ы (ж) т • (?-31>
причем особенность в точке z — o при обходе попала внутрь контура, а особенность в точке z — о оказалась исключен-7.2. ТЕОРИЯ ВЫЧЁТОВ
' ' ' 303
ной. Аналогичным образом, но учитывая, что обход контура совершается по часовой стрелке, запишем для интеграла I2:
'.-"(rlr+" [zW)?= (i1)T- <7-32>
Сложим уравнения (7.31) и (7.32) и окончательно получим
/ (а) = /і + /а = -у- (e*0 4 e-icr) = я ch tcF = я cos о. (7.33)
В математическом смысле мы получили точное выражение для интеграла (7.27), однако косинусоидальная зависимость
слении интеграла (7.27).
соответствует стоячей волне, тогда как нам необходимо выделить в решении расходящуюся рассеянную волну.
Попытаемся получить решение требуемой формы, которое удовлетворяло бы физическим условиям задачи. Вместо обхода особых точек сместим их с вещественной оси. В частности, если заменить о a + iyf — — о — іу, где положительный параметр у мал по величине и в конечном результате полагается равным нулю, т. е.
/(с) = Iim /(сг-Ку), (7.34)
у-»-о304 ГЛАВА 7. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО!!
то после указанной замены и применения теоремы о вычетах получим для первого интеграла
/ і \ J (<H-*v)
/,(G-H7H2m- (-1-)6-^-, (7.35)
аналогично
/ _ 1 \ Pi(^iV)
h (a+ iy) = - 2ш (-gi) . (7.36) Сложим (7.35) и (7.36) и перейдем к пределу
/ (о) = Iim [Z1 (а+іу) +/а(а+іу)] =
= lim яе* <*+«?> = ле{°. (7.37)
V-+о
Этот результат соответствует граничным условиям задачи о рассеянии.
Интересно проследить, каким образом подстановка о-і-о — іу приводит к значению интеграла
/ (о) = яе-'*, (7.38)
которое соответствует падающей волне. Очевидно, результат (7,33) представляет собой среднее арифметическое уравнений (7.37) и (7.38), которое является главным значением интеграла. Отметим, что различные возможности (7.33), (7.37) и (7.38) возникли как следствие того, что заданный интеграл — несобственный. Он не может быть однозначно определен до тех пор, пока не введены дополнительные ограничивающие условия (или не проведено усреднение). Рассмотрим теперь числа Бернулли (см. разд. 5.8):
oo
?ГІ = S-Irjt"- (7-39)
n=О
Заменив X на z, получим ряд Тейлора, в котором
C0
Здесь внутри контура интегрирования C0 находится начало координат, причем | z | < 2л.
При п = О в точке Z- О имеется простой полюс с вычетом 4-1. Отсюда из уравнения (7.9)
B0 = ^aii(I) = I. (7.41)7.2. ТЕОРИЯ ВЫЧЁТОВ
' ' ' 305
При л — 1 особенность в точке Z = O является полю-сом второго порядка. Разлагая показательную функцию в ряд, можно показать, что вычет в этом случае равен —1/2. Следовательно,
При п ^ 2 эта процедура становится значительно более громоздкой, поэтому разумнее прибегнуть к другим методам вычисления интеграла (7.40). Деформируем контур,
как показано на рис. 7.8. Новый контур С, так же как и контур C0, содержит внутри себя начало, но, кроме того, внутри контура С имеется бесконечное множество особых точек, расположенных вдоль мнимой оси в точках z — = ± p2ni} р= 1, 2, 3,. . . Интегралы вдоль оси Xt взятые в противоположных направлениях, взаимно уничтожаются, а интеграл по окружности бесконечного радиуса (R-+ оо) оказывается равным нулю (напомним, что 2). Следовательно,
(7.42)
Рис. 7.8. Контур интегрирования при вычислении чисел Бернулли.
OO
§
Z dz
— 2лі 2 вычеты (z = ±р2 пі). (7.43)
P=!
ег— 1 ' zn+1 ~~
Cq
20-1257306 ГЛ А В А 7. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО II
В точке г = р2ш' функция имеет простой полюс с вычетом (р2ш)~п. При нечетном п вычет в точке Z — p2ni равен с противоположным знаком вычету в точке z — —/?2л/, поэтому Bn = 0, п — 3, 5, 7 и т. д. При четном п вычеты складываются, поэтому
5^(-2^)22^
р=1
со
--ЧЄ^з (7.44)
p=i
где ? (п) — дзета-функция Римана (см. разд. 5.8). Последнее выражение соответствует уравнению (5.131) в разд. 5.8.
Упражнения
I. Определить тип особых точек и найти вычет для каждой из следующих функций (а>0):
1 г2 ге+і2 е+І2
z2 + fl2 • (z2-f а2)2 ' г2 + а2 * Z2_a2 '
1 Sin (1/2) ге+іг 2~k
(г2_|_а2)2 ' 22_|_а2 ' г2 —а2 ' z+1
(0<*<1).
2, Применяя теорему о вычетах, найти значения следующих несобственных интегралов: