Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арфкен Г. -> "Математические методы в физике" -> 80

Математические методы в физике - Арфкен Г.

Арфкен Г. Математические методы в физике — М.: Атомиздат, 1970. — 712 c.
Скачать (прямая ссылка): matematmetodivfizike1970.djvu
Предыдущая << 1 .. 74 75 76 77 78 79 < 80 > 81 82 83 84 85 86 .. 185 >> Следующая


/(a)«/, + Zjl (7.29)

где

oo 00

-OO —00

Интеграл Ii аналогичен интегралу (7.15). Для Z1 дополним контур интегрирования полуокружностью бесконечного радиуса в верхней полуплоскости. Подынтегральная функция в I2 содержит отрицательную экспоненту, поэтому мы замкнем контур интегрирования полуокружностью в нижней полуплоскости (рис. 7.7). Как и в случае интеграла (7.15), интегрирование по этим полуокружностям не вносит никакого вклада в интеграл.

Подынтегральная функция имеет полюсы в точках г = + а и Z = —а, которые лежат непосредственно на контуре интегрирования. Вычеты в этих точках для Ii равны соответственно ei0/2 и е_І0/2, а для I2 равны е~іа/2 и еі0/2. Совершая обход особых точек, как показано на рис. 7.7 (снизу или сверху — несущественно), и пользуясь теоремой о вычетах, получаем

<>~пі (тг) ?+1"" (і) т=ы (ж) т • (?-31>

причем особенность в точке z — o при обходе попала внутрь контура, а особенность в точке z — о оказалась исключен- 7.2. ТЕОРИЯ ВЫЧЁТОВ

' ' ' 303

ной. Аналогичным образом, но учитывая, что обход контура совершается по часовой стрелке, запишем для интеграла I2:

'.-"(rlr+" [zW)?= (i1)T- <7-32>

Сложим уравнения (7.31) и (7.32) и окончательно получим

/ (а) = /і + /а = -у- (e*0 4 e-icr) = я ch tcF = я cos о. (7.33)

В математическом смысле мы получили точное выражение для интеграла (7.27), однако косинусоидальная зависимость

слении интеграла (7.27).

соответствует стоячей волне, тогда как нам необходимо выделить в решении расходящуюся рассеянную волну.

Попытаемся получить решение требуемой формы, которое удовлетворяло бы физическим условиям задачи. Вместо обхода особых точек сместим их с вещественной оси. В частности, если заменить о a + iyf — — о — іу, где положительный параметр у мал по величине и в конечном результате полагается равным нулю, т. е.

/(с) = Iim /(сг-Ку), (7.34)

у-»-о 304 ГЛАВА 7. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО!!

то после указанной замены и применения теоремы о вычетах получим для первого интеграла

/ і \ J (<H-*v)

/,(G-H7H2m- (-1-)6-^-, (7.35)

аналогично

/ _ 1 \ Pi(^iV)

h (a+ iy) = - 2ш (-gi) . (7.36) Сложим (7.35) и (7.36) и перейдем к пределу

/ (о) = Iim [Z1 (а+іу) +/а(а+іу)] =

= lim яе* <*+«?> = ле{°. (7.37)

V-+о

Этот результат соответствует граничным условиям задачи о рассеянии.

Интересно проследить, каким образом подстановка о-і-о — іу приводит к значению интеграла

/ (о) = яе-'*, (7.38)

которое соответствует падающей волне. Очевидно, результат (7,33) представляет собой среднее арифметическое уравнений (7.37) и (7.38), которое является главным значением интеграла. Отметим, что различные возможности (7.33), (7.37) и (7.38) возникли как следствие того, что заданный интеграл — несобственный. Он не может быть однозначно определен до тех пор, пока не введены дополнительные ограничивающие условия (или не проведено усреднение). Рассмотрим теперь числа Бернулли (см. разд. 5.8):

oo

?ГІ = S-Irjt"- (7-39)

n=О

Заменив X на z, получим ряд Тейлора, в котором

C0

Здесь внутри контура интегрирования C0 находится начало координат, причем | z | < 2л.

При п = О в точке Z- О имеется простой полюс с вычетом 4-1. Отсюда из уравнения (7.9)

B0 = ^aii(I) = I. (7.41) 7.2. ТЕОРИЯ ВЫЧЁТОВ

' ' ' 305

При л — 1 особенность в точке Z = O является полю-сом второго порядка. Разлагая показательную функцию в ряд, можно показать, что вычет в этом случае равен —1/2. Следовательно,

При п ^ 2 эта процедура становится значительно более громоздкой, поэтому разумнее прибегнуть к другим методам вычисления интеграла (7.40). Деформируем контур,

как показано на рис. 7.8. Новый контур С, так же как и контур C0, содержит внутри себя начало, но, кроме того, внутри контура С имеется бесконечное множество особых точек, расположенных вдоль мнимой оси в точках z — = ± p2ni} р= 1, 2, 3,. . . Интегралы вдоль оси Xt взятые в противоположных направлениях, взаимно уничтожаются, а интеграл по окружности бесконечного радиуса (R-+ оо) оказывается равным нулю (напомним, что 2). Следовательно,

(7.42)

Рис. 7.8. Контур интегрирования при вычислении чисел Бернулли.

OO

§

Z dz

— 2лі 2 вычеты (z = ±р2 пі). (7.43)

P=!

ег— 1 ' zn+1 ~~

Cq

20-1257 306 ГЛ А В А 7. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО II

В точке г = р2ш' функция имеет простой полюс с вычетом (р2ш)~п. При нечетном п вычет в точке Z — p2ni равен с противоположным знаком вычету в точке z — —/?2л/, поэтому Bn = 0, п — 3, 5, 7 и т. д. При четном п вычеты складываются, поэтому

5^(-2^)22^

р=1

со

--ЧЄ^з (7.44)

p=i

где ? (п) — дзета-функция Римана (см. разд. 5.8). Последнее выражение соответствует уравнению (5.131) в разд. 5.8.

Упражнения

I. Определить тип особых точек и найти вычет для каждой из следующих функций (а>0):

1 г2 ге+і2 е+І2

z2 + fl2 • (z2-f а2)2 ' г2 + а2 * Z2_a2 '

1 Sin (1/2) ге+іг 2~k

(г2_|_а2)2 ' 22_|_а2 ' г2 —а2 ' z+1

(0<*<1).

2, Применяя теорему о вычетах, найти значения следующих несобственных интегралов:
Предыдущая << 1 .. 74 75 76 77 78 79 < 80 > 81 82 83 84 85 86 .. 185 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed