Логика естественных рассуждений - Кулик Б.А.
ISBN 5-7940-0080-5
Скачать (прямая ссылка):
3*
численные примеры Е-структур этому свойству не противоречили. И даже была сделана попытка доказать следующее утверждение:
Для каждой базовой корректной гипотезы среди других корректных гипотез обязательно находится ее альтернатива.
Но доказать это утверждение не удалось. В процессе поиска доказательства были найдены другие важные соотношения в Е-структурах (см. Приложение Б) и даже был построен пример, в котором приведенное утверждение опровергается. Этот пример приведен в Приложении Б. Ниже воспроизведена его диаграмма Хассе (рис. 39).
8
"Отрицания" в Е-структурах
Когда речь идет о терминах или литералах рассуждения, то вопрос об их отрицаниях особых сложностей не вызывает. Если мы говорим "Не А" или "Невозможно А", где Л является термином, то подразумеваем дополнение соответствующего множества А в некотором универсуме. Более сложен ответ на вопрос, что является отрицанием данного суждения с точки зрения ^-структур. И тем более непростой является математическая модель отрицания для рассуждения, содержащего связную совокупность суждений.
Рассмотрим сначала, как решается вопрос с отрицаниями в математической логике. Язык математической логики подчиняется строгим законам синтаксиса. Эти, по правде сказать, не очень простые для изучения законы необязательно знать для понимания дальнейшего изложения. Важно то, что весь разнообразный и необозримый набор синтаксически правильных предложений, выраженных на языке математической логики, можно представить как множество формул. Формулы могут быть простыми и сложными, но для каждой формулы существует единственное отрицание, которое выражается с помощью приписывания логической связки "НЕ" перед формулой. Например, если исходная формула у нас обозначена как F, то ее отрицанием является формула —1F (в некоторых источниках F), Отрицание формулы тоже является формулой, и для этих двух формул должны соблюдаться два закона (соотношения):
(1) формула FaF- безусловно ложная формула;
(2) формула F V F — безусловно истинная формула (тавтология или теорема ).
Здесь знаками AhV обозначены соответственно логические связки "И" и "ИЛИ". Эти законы имеют в логике соответствующие названия: закон непротиворечия и закон исключенного третьего. В основах математической логики (и в этом ее отличие от многих так называемых неклассических логик) эти законы пока никто не отменял.
С их учетом нетрудно увидеть аналогию между отрицаниями в математической логике и дополнениями в алгебре множеств. В алгебре множеств соответствующие законы выражены для произвольного множества S в виде двух соотношений: 5 Л 5 = 0 и S U 5 = U.
8. "Отрицания" в Е-структурах
69
Оказывается, что соотношение между отрицаниями в математической логике и дополнениями в алгебре множеств — не только аналогия, но необходимая закономерность. Чтобы это стало понятным, рассмотрим некоторые особенности математической логики.
Обычно каждая формула содержит определенное число переменных, вместо которых можно подставить какие-то константы. Если мы заменим в формуле все переменные некоторыми константами, то совокупность этих констант и их соотнесенность с соответствующими переменными называется подстановкой данной формулы. Если данная подстановка характеризуется тем, что формула, в которой все переменные заменены константами, является истинной, то подстановка называется выполняющей подстановкой данной формулы.
При интерпретации формул математической логики, когда мы рассматриваем каждую логическую формулу как множество выполняющих подстановок, оказывается, что отрицание формулы полностью соответствует дополнению алгебры множеств.
Рассмотрим это соответствие более подробно. Представим алгебру множеств, элементами которой являются всевозможные подстановки для заданной в формуле совокупности переменных. Таких подстановок может быть бесконечное число (например, когда областью значений хотя бы одной переменной является бесконечный натуральный ряд чисел), но суть от этого не меняется. Каждую формулу, содержащую заданное множество переменных, можно представить как некоторое множество выполняющих подстановок для этих переменных. Тогда безусловно ложная формула означает формулу, для которой выполняющих подстановок не существует, а формула, в которой любая подстановка является выполняющей и в силу этого свойства — тавтологией или теоремой, соответствует универсуму этой алгебры множеств. Соответственно отрицание заданной формулы означает формулу, где выполняющими подстановками являются всевозможные элементы нашего универсума, которые не являются выполняющими подстановками исходной формулы. Таким образом, связь формул математической логики с законами алгебры множеств очевидна: произвольная формула соответствует некоторому подмножеству универсума подстановок, которые для нее являются выполняющими, безусловно ложная формула — пустому множеству выполняющих подстановок, а тавтология или теорема — универсуму.
При переходе к !!-структурам возникает проблема соответствующей интерпретации. Если в математической логике отрицание формулы также является формулой, то в Е-структурах формальное отрицание, т. е. присоединение знака отрицания или дополнения к соответствующей Е-структуре или к отдельному суждению, не является ни суждением,
