Логика естественных рассуждений - Кулик Б.А.
ISBN 5-7940-0080-5
Скачать (прямая ссылка):
в——>а—**е —»>C —*¦ f
f —>C—^e —>а —**D—»>B Рис. 32
Нетрудно убедиться, что к данному структурному классу относится также и система, полноту которой мы только что проверили методом перебора. К этому классу относятся почти все примеры полисиллогизмов, приводимые в учебниках по логике, включая книгу "История с узелками"
_7, Неполные рассуждения (формирование и проверка гипотез) 61
[Кэрролл, 1973]. Вместе с тем этот класс является всего лишь частным случаем Е-структур и соответствующих им рассуждений, поэтому обольщаться особенно не следует. Далее будут рассмотрены Е-структуры, для которых проверка полноты не является такой простой процедурой.
Приведем определения и соотношения, которые после предшествовавшего разбора будут более понятными.
Определение 15. Для заданной Е-структуры любое суждение, содержащее только пару различных базовых литералов этой Е-структуры и не содержащееся в ее СГ-замыкании, называется базовым невыводимым суждением.
Определение 16. Е-структура является полной, если добавление в нее любого базового невыводимого суждения вызывает коллизии парадокса или цикла. В противном случае такая структура является неполной.
Определение 17. Для неполных Е-структур любое ее базовое невыводимое суждение, не вызывающее в этой Е-струк-туре коллизии парадокса или цикла, называется базовой корректной гипотезой этой Е-структуры.
Свойство некоторых Е-структур, позволяющее определять их полноту без перебора вариантов, формулируется в виде теоремы (ее доказательство здесь не приведено).
Теорема 2. Любая Е-структура, диаграммаХассе которой представлена в виде двух не связанных друг с другом максимальных путей, в которых содержатся все базовые литералы этой структуры, является полной Е-структурой.
Мы будем рассматривать в основном базовые гипотезы, т. е. суждения, содержащие только базовые литералы. Хотя в общем случае гипотезы могут содержать и новые литералы. Примем во внимание, что по отношению к содержательным рассуждениям термин "гипотеза" является обобщающим термином. В естественных рассуждениях в качестве "гипотезы" можно рассматривать не только гипотезы как таковые, но и суждения, которые могут иметь статус аргументов или просто фактов, совместимых с данным рассуждением.
Перейдем теперь к неполным Е-структурам. Начнем с самого простого примера.
Пример 13. Пусть Е-структура содержит два исходных суждения В -* А и В -* С. Ее можно также представить одним сложным суждением В -* (А, С). Содержательным примером такой Е-структуры может быть предложение: "Все тигры — хищники и млекопитающие". Такое элементарное на первый взгляд суждение оказывается не очень простым, если
62 7. Неполные рассуждения (формирование и проверка гипотез)
подойти к нему с точки зрения анализа полноты структуры. Построим таблицу для анализа способом, который мы уже использовали. В табл. 2 приведены только две колонки — промежуточные результаты, ранее размещавшиеся во второй и третьей колонках (см. табл. 1), здесь опущены.
Таблица 2.
А -* (С, В, С)
В — (Л, С)
В - (A, Q
с-О
C-* (А, А в)
A-(B)
А ~* (В, С, С)
в-О
В - (А, С)
C-(b)
C-* (А, В, А)
В данном случае производится проверка 16 суждений. Это число сокращается до восьми, поскольку все подлежащие проверке суждения можно разбить на пары "суждение и его контрапозиция". Например, в первой строке таблицы имеется суждение Л —> С, а в последней — суждение C-* А, которое является контрапозицией предыдущего. Поэтому достаточно проверить одно из суждений каждой такой пары.
В результате проверки (попробуйте сделать ее самостоятельно) окажется, что из 16 суждений останутся только 6. Каждое из них можно добавить в исходную систему, и никаких коллизий при этом не обнаружится. Ниже выписаны эти суждения, разбитые по парам "суждение и его контрапозиция":
А— С и C-* А; С —AnA-* С; A^C и С — А.
Без использования компьютера даже для такой простой исходной системы проверка неполноты оказывается весьма трудоемкой. Первые две пары гипотез очевидны и легко улавливаются при воспроизведении суждения В —¦ (А, С) с помощью различных вариантов диаграмм Эйлера (рис. 33).
Рис. 33
Гипотезы третьей пары на первый взгляд кажутся сомнительными, хотя не вызывают формальных коллизий при их совмещении с суждением В -* (А, С). Для них тоже можно построить диаграмму Эйлера. Она будет аналогичной изображению на рис. 33, а, но при этом объединение
7. Неполные рассуждения (формирование и проверка гипотез) 63
множеств Л и С должно быть в точности равно универсуму, иначе неизбежна коллизия парадокса. Этот вывод легко проверить с помощью методов анализа /^-структур.
Рассмотрим рис. 33, а. Из него следует, что универсум U структуры содержит область, которая выходит за пределы объединения множеств А и С. Используя закон де Моргана (в разделе 2 он идет под номером 11.1), эту область можно представить множеством А Л С. Для доказательства того, что в исходной системе с учетом гипотезы A ^* С это множество является пустым, добавим еще экзистенциальное суждение W--* (А, С). Полученная система изображена на рис. 34.
