Логика естественных рассуждений - Кулик Б.А.
ISBN 5-7940-0080-5
Скачать (прямая ссылка):
Ответ на этот вопрос оказывается непростым. Забегая вперед, отметим, что в настоящее время задачи подобного рода, за исключением некоторых случаев, решаются с помощью "тупого" перебора вариантов. И хотя данная структура как раз относится к тем исключениям, для которых эта задача решается без всякого перебора, мы для большей понятности начнем решать ее, перебирая варианты. Заодно отметим, что трудности с решением подобных задач возникают лишь при "ручном" исполнении. При использовании компьютерной программы такие задачи, даже с большим числом литералов, решаются мгновенно.
_7, Неполные рассуждения (формирование и проверка гипотез) 59
Л -*
(.B1C)
A-*
(Л, Л, В, С)
A-*
(В, С)
A-*
(В, С)
в-*
(С)
В -*
(А, В, А, В, С)
B-*
(Л, Л, С)
в-*
(А, С)
о
C^
(Л, В, С, А, В, С)
C^
(Л, В, А, В)
с-*
(A1B)
A^
о
л-
(Л, В, С, Л, В, С)
A-*
(В, С, В, С)
А -*
(В, С)
в-*
(А)
в —
(Л, В, С, В, С)
B-*
(Л, С, С)
Я —
(А, С)
(А, В)
с-*
(А, В, С, С)
C^
(А, В)
с-*
(А, В)
Решение этой задачи отражено в табл. 1, содержащей четыре колонки. Рассмотрим правила заполнения таблицы. В первой колонке записываются последовательно все строки СГ-замыкания нашей системы.
Для формирования второй колонки мы берем в качестве субъекта литерал из соответствующей строки в первой колонке, но в качестве предикатов вставляем все базовьіе литералы нашей системы за исключением тех, которые содержатся как предикаты в исходной строке. Например, если исходной была строка Л -* (В, С), а состав всех литералов определяется множеством T = {А, А, В, В, С, С), то во второй колонке записывается строка Л —» (Л, Л, В, С), в которой будут все литералы из T за исключением В и С. Тем самым мы включаем во вторую колонку все возможные базовые суждения, которые не содержатся в СГ-замыкании.
Заполняя третью колонку, мы преобразуем суждения второй колонки так, чтобы исключить из этого множества суждений легко распознаваемые коллизии. В соответствующих строках второй колонки исключаем из состава предикатов литералы, которые совпадают с субъектом и которые являются отрицанием соответствующего субъекта. Эти результаты заносятся в третью колонку таблицы. Например, строка А ~* (Л, Л, В, С) из второй колонки преобразуется в строку Л -* (В, С). Таким образом у нас исключаются тривиальное суждение Л -+Ли явная коллизия А —* А.
Когда мы к тому же исключим из суждений третьей колонки те, что обратны исходным, то получим данные для четвертой колонки. Если обратное суждение использовать в качестве гипотезы, то в этом случае обязательно появится коллизия цикла, и наша гипотеза окажется некорректной. В качестве примера возьмем вторую строку из третьей колонки: В —» (Л, Л, С). В ней содержится элементарное суждение В —» Л. В первой колонке найдем строку, которая начинается с субъекта Л. В ней среди предикатов содержится термин В. Следовательно, в исходной системе имеется элементарное суждение A-* В. Поэтому из нашего списка возможных гипотез надо исключить обратное суждение В —* Л. Это достигается за счет преобразования строки В —* (Л, Л, С) в строку В -* (Л, С). Аналогичная проверка делается для всех строк и литералов третьей колонки, в процессе чего заполняется четвертая колонка таблицы.
Таблица 1.
60 7. Неполные рассуждения (формирование и проверка гипотез)
В результате предстоит проверить 12 элементарных суждений — по два суждения в каждой строке. Рассмотрим в качестве примера первую строку а —>¦ (в, С), в которой содержатся два элементарных суждения а -* в и а —» С. Вначале воспроизведем диаграмму Хассе нашей исходной системы (рис. 29) и добавим к этой системе первое проверяемое суждение (рис. 30). Теперь достаточно посмотреть на рисунок и убедиться, что новая система содержит коллизию парадокса а ~* а, поскольку из а есть путь в а. Тот же результат мы получим, если в исходную систему добавим второе проверяемое суждение (рис. 31).
а—>в—*¦ с а^-+в^—>с а—>в—**с
с—*-в —>а~ с—>i—>Л с—+-В —>а Рис. 29 Рис. 30 Рис. 31
При проверке всех остальных элементарных суждений из четвертой колонки табл. 1 оказывается, что все они инициируют коллизию парадокса. Таким образом, в исходную систему невозможно добавить какую-либо посылку, содержащую только базовые литералы, чтобы при этом не возникало никаких коллизий. Системы с таким свойством мы в дальнейшем будем называть полными системами. При этом полнота системы не означает, что в нее вообще нельзя ничего добавлять. Как было показано ранее, к указанным системам можно добавлять без коллизий сколько угодно суждений, содержащих новые литералы.
Проверка полноты даже простой системы является весьма трудоемким занятием, поэтому целесообразно воспользоваться вычислительными возможностями компьютера. Однако имеются классы ^"-структур, полнота которых легко распознается без нудного перебора. К этому классу относятся, в частности, все ^-структуры, у которых диаграмма Хассе содержит две не связанные друг с другом максимальные цепи. Например, если мы построим диаграмму Хассе какой-то /Г-структуры и увидим картинку, аналогичную представленной на рис. 32, то можем смело без всяких проверок утверждать, что эта система является полной.
