ЯМР в одном и двух измерениях - Эрнст Р.
ISBN 5-03-001394-6
Скачать (прямая ссылка):
определяется допустимым уширением В (выраженным в Гц). Функция H(f) описывает форму линии, в которую преобразуется линия с бесконечно малой естественной шириной.
Для большинства практических применений нет необходимости связывать вычисление функции аподизации с числом точек выборки. Известно множество простых приближений, особенно в области Цифровой обработки данных [4.28—4.31].
Вот некоторые удобные функции аподизации (окна):
1) косинусное окно , . . 1 ,.ч
/i(f) = cos(jrf/2fmax), (4.1.36) 136
Гл. 4. Одномерная фурье-спектроскопия
2) окно Хэннинга
h (0 = 0,5 + 0,5 cos(nt/tm.M), (4.1.37)
3) окно Хэмминга
h(t) = 0,54 + 0,46 соб(лIftma), (4.1.38)
4) окно Кайзера
A(f) = /o{oV(l -(r/fmax)2)}[/o{0}rl. (4.1.39)
В последнем случае Io — модифицированная функция Бесселя нулевого порядка, и увеличение значения в уменьшает амплитуду пульсаций, но увеличивает ширину линии (типичные значения в = х; 1,5т или 2т) [4.40].
На рис. 4.1.5 приведены характеристики этих окон в виде результирующей ширины линии и амплитуды пульсаций. Непрерывная линия соответствует характеристикам, полученным с окнами Дольфа — Чебышева [4.38, 4.39]. Окна Хэмминга и Кайзера являются хорошими приближениями к оптимальным функциям. Примеры, приведенные на рис. 4.1.6, показывают, что даже окно
-1-1-г-
1.0 0,1 0,01 0,001
Амплитуда пульсаций/Амплитуда центрального пика
Рис. 4.1.5. Зависимость ширины линии, полученной в результате фурье-преобразования усеченного экспоненциально спадающего сигнала, сглаженного различными функциями аподизации, от амплитуды пульсаций. Непрерывная линия соответствует оптимальной аподизации, которую дает применение окна Долфа — Чебышева. Жирные точки указывают на характеристики различных окон, рассматриваемых в тексте. Три окна Кайзера соответствуют в = ir, 1,5т и 2 т слева направо. Ширины линий нормированы относительно ширины линии, являющейся фурье-преобразованием усеченного сигнала без аподизации; амплитуда пульсаций приводится относительно амплитуды главного пика. 4.1. Теория отклика
137
Хэннинга дает ощутимо лучшие результаты, чем экспоненциальная весовая функция [4.27].
Минимальная скорость выборки, необходимая для адекватного описания сигнала во временном представлении, определяется теоремой отсчетов [4.7, 4.11, 4.18 , 4.22, 4.24, 4.25]. Ее можно сформулировать следующим образом. Для правильного представления сигнала скорость выборки /s = l/Аґ должна быть равна по крайней мере удвоенной высшей частоте /тах, содержащейся в сигнале:
/s 28 2/тах- (4.1.40а)
Рис. 4.1.6. а — экспоненциально спадающий сигнал свободной индукции, являющийся суперпозицией сильного и слабого сигналов, и соответствующий спектр, на кото-Ром слабый сигнал отмечен стрелкой, б — то же после аподизации функцией Хэннинга; в — после экспоненциального взвешивания. Слабая линия наиболее ясно различима на рис. б. (Из работы [4.27].) 138
Гл. 4. Одномерная фурье-спектроскопия
Наивысшая частота, которая может быть восстановлена после выборки со скоростью /ь, называется частотой Найквиста /n:
Более высокие частоты оказываются преобразованными в низкие и «вкладываются» в частотный диапазон 0 ^/</n. Они вызывают «проблему наложения».
В том случае, когда сигнал во временном представлении записывается в комплексном виде с помощью квадратурного фазового детектирования, становится возможным различать положительные и отрицательные частоты и перекрыть расширенный частотный диапазон от -/n до +/n.
Практически спектр может быть получен дискретным фурье-преобразованием выборки из M точек [4.18, 4.22]:
здесь W = ехр {І27Г/М). Если ограничиться фурье-преобразованием M записанных точек, то осцилляций на крыльях линии, о которых говорилось выше (см. рис. 4.1.4), не будет, поскольку расстояние между точками в частотном представлении согласуется с периодом осцилляций. Однако отклик может быть чувствителен к сдвигам частоты сигналов, и частотные компоненты, попадающие в интервал между двумя точками в частотном представлении, могут быть не представлены должным образом. Чтобы избежать этого, необходимо вычислять амплитуду на промежуточных частотах, например с помощью тригонометрической интерполяции. Это нетрудно сделать либо продлением процесса выборки за предел ґт»х, либо дополнением выборки из M измеренных точек строкой из нулей до фурье-преобразования. Это полностью эквивалентно тригонометрической интерполяции: например, если длительность первоначального сигнала во временном представлении удваивается за счет добавления M нулей, то интервал между точками в частотном представлении становится равным 1/2 Г и дополнительные точки, полученные таким образом, попадают между точками исходного спектра. Заполнение нулями до бесконечности приводит к непрерывной форме линии, которая может быть вычислена с помощью непрерывного фурье-преобразования [выражение (4.1.20)] (см. рис. 4.1.4).
/n — z/s-
(4.1.406)
Sk=yZ SlWkl;
(4.1.41) 4.1. Теория отклика
139
Ясно, что дополнение измеренных точек нулевыми значениями является очень плохой экстраполяцией сигнала. По-видимому, можно получить лучшую экстраполяцию, если учесть поведение функции s(t) за время 0 ^ t ^ Лпах. Было предложено несколько подходов.
