ЯМР в одном и двух измерениях - Эрнст Р.
ISBN 5-03-001394-6
Скачать (прямая ссылка):
4.1. Теория отклика
Спектроскопию можно рассматривать как одну из дисциплин общей теории отклика, главной задачей которой является описание систем с помощью соотношений между входным и выходным сигналами. Основные концепции теории отклика оказали большое влияние на методологическое развитие спектроскопии. Это особенно наглядно проявляется в фурье-спектроскопии ЯМР. Теория отклика играет также центральную роль и для обработки данных.
В последующем изложении теории отклика мы будем пользоваться более абстрактными понятиями без ссылки на конкретные применения. Свойства изучаемой системы будем описывать системным оператором Ф. На систему действует входной сигнал x{t), результатом которого является сигнал реакции или отклика y(t), как показано на рис. 4.1.1. В общем виде передаточные соотношения имеют вид
Я0 = ф{*(0}- (4.1.1)
В некоторых случаях входной и выходной сигналы x(t) и }>(/) могут быть векторами с произвольной размерностью. Мы ограничим на-Ше рассмотрение системами, инвариантными по отношению к времени. для которых оператор Ф не зависит явно от времени. 124
Гл. 4. Одномерная фурье-спектроскопия
Рис. 4,1.1. Системный оператор Ф описывает соотношение между входным x(t) и выходным _у(() сигналами для произвольной системы.
Теория отклика и понятие системы лежат в основе электроники, для решения задач которой они и развивались первоначально. В последующем они нашли широкий круг применений: от социологии до ядерной физики. Авторы большинства учебников ограничиваются рассмотрением линейных систем, для которых возможно создание законченной теории, не зависящей от конкретных свойств изучаемой системы [4.7—4.13].
Более сложным является анализ нелинейных систем, для которых отклик y(t) представляет собой нелинейную функцию X(Г). Только небольшая часть теоретических результатов, полученных к настоящему времени, имеет универсальную применимость. В большинстве случаев здесь важную роль играют конкретные свойства рассматриваемой системы. Однако общее рассмотрение возможно, если нелинейности являются «слабыми» и когда разложения в степенные ряды сходятся [4.14—4.17].
4.1.1. Теория линейного отклика
Система, описываемая оператором Ф, называется линейной, если выполняется принцип суперпозиции, т. е.
Ф{лг,(0 +X2(O) = Ф{*,(0} + Ф{*2(0) =Уі(0+У2І0- (4.1.2)
В этом случае произвольный входной сигнал x(t) можно записать в виде линейной комбинации базисных функций gk(t):
*<0 = 2 Xkgk(I) (4.1.3)
к
или, при определенных условиях, в виде интеграла
x(t) = jx(p)g(p, t) dp (4.1.4)
и рассматривать отклик на каждую составляющую функцию отдельно: ^
к 4.1. Теория отклика
125
= jx(p)$>{g(p, 0} dp. (4.1.5)
Особенно важным является представление входного сигнала с помощью функции Дирака S(():
x(t)=f х(т) o(t - т) dr. (4.1.6)
J — эс
Для вычисления отклика у(() необходимо иметь лишь отклик Ф[5(0Ь который называется импульсной характеристикой h(t) системы:
Й(0 = Ф{6(/)}. (4.1.7)
Это приводит нас к важному результату
y{t) = J h(r)x(t - т) dr =
= h(t)*x(t). (4.1.8)
Таким образом, отклик на произвольный входной сигнал равен его свертке с импульсной характеристикой системы. Следовательно, импульсная характеристика полностью определяет не зависящую от времени линейную систему и позволяет предсказать отклик на любые возмущения. Для всякой физической системы справедлив принцип причинности; поэтому очевидно, что
А(/) = 0 для г < 0, (4.1.9)
так как следствие не может предшествовать собственной причине.
Интегрируя уравнение (4.1.8) по частям, получаем другое представление отклика линейной системы
УСО= Г y(T)*'(r-T)dT =
J-Oс
= y(t) *x'(t) ; (4.1.10)
здесь х'(t) = dx(t)/dt, a y(t) — переходная характеристика:
у(0 = Ф{и(0), (4.1.11)
Где
.(.)-Jj>(T)d,-{J; (4.1.12) 126
Гл. 4. Одномерная фурье-спектроскопия
В этом случае отклик y(t) записывается в виде свертки производной возбуждения х' (t) и переходной характеристики -y(t).
Особенно удобно описывать свойства линейной системы с помощью отклика на ее собственные функции. Нетрудно показать, что экспоненциальные функции exp [pt} являются собственными функциями оператора любой не зависящей от времени линейной системы, причем р — произвольная комплексная величина:
у(0 = Ф{е"'} = Н'(р)еГ*. (4.1.13)
На выходе воспроизводится входная функция е*", умноженная на комплексное собственное значение H' (р), которое определяет изменение фазы и амплитуды, вызываемое системой. Можно рассматривать H' (р) как непрерывную функцию аргумента р. Эта функция называется передаточной характеристикой системы.
Для частного случая гармонической входной функции (р = іш = і2тг/) мы имеем частотную характеристику системы
Н(ю) = Н'( ш). (4.1.14)
Если с помощью (4.1.8) вычислить отклик для входного сигнала exp(iwf), то мы получим
у (о = J h(r) е'°" ¦ e~ituT dt = Н(а>) еіш (4.1.15)
или
Н(ш) =( h(t)e~iu"dt (4.1.16)
J — ОС
и
aW=T- f Н(а>) е'°" du>.
Отсюда следует, что импульсная h(t) и частотная Н(ш) характеристики образуют пару фурье-преобразований (рис. 4.1.2). Обе функции полностью описывают любую не зависящую от времени линейную систему.
