Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях - Марри Дж.
Скачать (прямая ссылка):
функция должна равняться нулю:
здесь вместо J подставлено его выражение (3.41). Если жидкость,
участвующая в конвекции, несжимаема, а воздух можно считать несжимаемым
до скоростей порядка 200 м/с, то V • v = 0 (см., например, учебник Л. Д.
Ландау и Е. М. Лифшица (1954)). Если коэффициент диффузии можно считать
постоянным, как в рассматриваемой нами ситуации, то
(3.42) принимает вид
что и представляет собой уравнение конвективной диффузии со скоростью
конвекции v (г, с). Значительная часть книги В. Г. Левича (1959)
посвящена процессам конвективной диффузии.
Вернемся теперь к задаче расчета фильтрующей эффективности антенных
рецепторов. Это требует изучения отложения частиц на поверхности сенсиллы
в результате конвективной диффузии. Для этого рассмотрим единичный
волосок сенсиллы в виде кругового цилиндра с осью, перпендикулярной
стационарному потоку воздуха, скорость которого равна v0 (например, в
см/с), а бомбикол в потоке распределен равномерно с концентрацией с0 (в
молекулах на 1 см3). Требуемое уравнение для концентрации с (г)-это
стационарная форма уравнения
(3.43), где у (г)-поле скоростей потока воздуха, обтекающего
цилиндрическую сенсиллу и содержащего бомбикол. Конкретный вид у (г)
зависит от числа Рейнольдса Re течения. Это безразмерное число Рейнольдса
составляется следующим образом: Re = v0-2a/v, где t)0i (i-единичный
вектор положительного направления оси х)- скорость воздуха далеко вверх
по течению перед цилиндрическим волокном, как на рис. 3.3, а-радиус
волоска, a v (в см2/с)-кинематическая вязкость воздуха при нормальных
температуре и давлении. Число Рейнольдса является мерой отношения
конвективных (инерционных) эффектов к вязким (подробнее см., например, у
Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшица (1954)).
--I- V-(cv - DVc) = 0.
dt
(3.42)
--I- (v-V)c = DV2c,
dt
(3.43)
3.5. Применение метода понижения размерности диффузии
105
В экспериментах Бокха и др. (1965), в которых определялся порог поведения
самца тутового шелкопряда, использовалось значение t)0 и 100 см/с. При
диаметре волоска сенсиллы 2а х 2 ¦ 10 ~ 4 см и кинематической вязкости
воздуха v = 0.15 см2/с число Рейнольдса Re "0.13, что с точки зрения
гидродинамики считается малой величиной. Когда Re < 1, течение жидкости
является ламинарным вязким течением Стокса, т. е. в нем доминируют вязкие
эффекты. Довольно подробное введе-
Рис. 3.3.
ние в гидромеханику малых чисел Рейнольдса содержится в книге, вышедшей
под редакцией Розенхеда (1963)и. Для наших целей здесь нам необходимо
поле скоростей v(r), соответствующее стационарному (сток-совому)
обтеканию кругового цилиндра (рис. 3.3). Задача нахождения v(r) для всех
а < г < оо нетривиальна в отличие от обтекания сферы. Это решение
выражается следующим образом (см., например, главу Иллингворта по
течениям при малых числах Рейнольдса в упомянутой выше книге Розенхеда
(1963)):
-Щ. (3.44)
п На русском языке см., например, учебник Н. Е. Кочина, И. А. Кибеля и Н.
В. Розе (1963)-Прим. ред.
106 Гл. 3. Понижение размерности в диффузионных процессах
Здесь vr, пв-составляющие скорости в полярных координатах г, 9 на
плоскости, а функция тока ф(г,9) имеет вид
ф = + |-}8Ь9 + 0(Щ для у =0(1), (3.45)
у
ф ~ r0rsui9 для -" 1, (3.46)
а
где
Re = ^, S=i-Y + lnA, (3.47)
у = 0.5772 (постоянная Эйлера).
Решение в форме (3.45) справедливо вблизи цилиндрической поверхности
сенсиллы и удовлетворяет условию прилипания у = 0 при г -
а,
тогда как (3.46) описывает свободное течение, для которого у =
r0i
(рис. 3.3). Решение в форме (3.45) неприменимо на большом удалении от
обтекаемого тела1). Эта гидродинамическая задача представляет собой еще
один пример более сложной ситуации с сингулярным возмущением. Введем
теперь безразмерные величины
, Ч с(г) I Y
Ci (li) =-. Ii = -. Y, = -,
Co U Vq
(3.48)
Vt = aV, Pe = ~
где c0 и v0 -соответственно невозмущенные концентрация в свободном потоке
и скорость воздуха (рис. 3.3). Безразмерная комбинация Ре-это число
Пекле; оно играет для процессов конвективной диффузии роль, сравнимую с
числом Рейнольдса для вязкого течения. В переменных,
(8с \
введенных в (3.48), стационарная форма -- = 0 ) уравнения (3.43)
х 8t
имеет вид
(Yi-Vi)c, =^-V?clf (3.49)
Ре
11 Цилиндрический (или скорее плоский) случай отличается от сферического
(трехмерного), где течение Стокса, аналогичное (3.45), применимо при всех
г,
а ^ г ^ оо.
3.5. Применение метода понижения размерности диффузии
107
где Vj находится из (3.44)-(3.47). Граничные условия для (3.49)
соответствуют предположению, что молекулы, диффундирующие на
цилиндрический волосок, прикрепляются к нему:
ci (П) -*¦ ri -*¦ 0°,
(3.50)
Ci(Ti) = 0, rt = 1.
Следующим шагом после определения q (г,) является оценка скорости
адсорбции на поверхности цилиндра, т.е. нам требуется вычислить размерный
поток Fl молекул на длине L цилиндра за 1 с:
F, = aLD
%) ". (3.5Ц
V и
Безразмерный поток F, на длине L цилиндра может быть определен в форме
