Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях - Марри Дж.
Скачать (прямая ссылка):
приведена в (3.70), т.е.
(для простоты можно считать, что это преобразование применяется только в
положительном квадранте).
Для этого преобразования
11 В теории движения вязкой жидкости к решению уравнения (3.64)
применяется эквивалентное этому преобразование Мизеса, при котором
функция тока ф принимается за одну из независимых переменных; см.,
например, Розенхед
с(оо,0)=1, с (0,9) = 0. ,
(3.72)
5.9 -" Ч*,9,
(3.73)
Ч* = - ?2 sin 9, 9 = 9
S s
и уравнение (3.69) принимает вид
S1/2 дс 2sin1/29 дв
(3-75)
Если ввести теперь новую независимую переменную
(3.76)
О
(1963).
116 Гл. 3. Понижение размерности в диффузионных процессах
то (3.75) примет еще более простую форму:
дс д (_,,, дс
* "¦- <зл7)
представляющую собой уравнение "диффузии", в котором эффективный
"коэффициент диффузии" является функцией одной из независимых переменных.
Граничные условия для 9) в (3.77) получаются из (3.72), (3.73):
с -* 1 при Ч* -*¦ оо; с - 0 при Ч* = 0. (3.78)
Форма уравнения (3.77) и граничных условий (3.78) подсказывает, что можно
попытаться найти автомодельное решение вида
с(Ч'.ф) = и(п), Л = Ч'7Ф6, (3.79)
где а и Ъ должны быть определены из требования, что подстановка (3.79) в
(3.77) приведет к обыкновенному дифференциальному уравнению для и (г|). В
результате мы находим, что b = 1/3, а = 1/2, и уравнение для ы (т]) есть
4 2 du _ d2u 3 ^ dr\ dr\2 Граничные условия для и определяются из (3.78)
в виде
--тл2^ = 4-т> л ='р1/2/ф1/3- (3-80)
м(со) = 1, и(0) = 0. (3.81)
Краткое общее описание того, как выяснить, существуют ли автомодельные
решения, дано в разд. АЗ.З приложения 3.
Интегрируя (3.80), получаем решение
u(ti) = A J e-4o3/9<fcr,
о
удовлетворяющее второму условию в (3.81). Чтобы удовлетворялось первое
условие, постоянную А нужно найти из соотношения
А
о
e-^da = А- Г(1/3)
31/3.41/3 >
где Г-это гамма-функция1*. Таким образом, определены постоянная
j/n
- -1---------I
А = -------------~ 0.87
Г(1/3)
11 См., например, Абрамовиц и Стиган (1965).
3.7. Собирательная эффективность сенсиллы: число Пекле Ре"1 117
и тем самым решение С помощью преобразований (3.76) и (3.73) выписываем
решение уравнения (3.69) с граничными условиями (3.72):
с 6,9) =
(12)1/3 Г(1/3)
(3.82)
Ч' = Ф = -^г
sin1/20'd0'.
Размерный поток молекул, диффундирующих на длину L волоска за единицу
времени, дается теперь формулой (3.51) в виде
2я
F, = aLD
m..-
2 aLD
Г/5с
дг }г = а
40,
(3.83)
где с и г-размерные вличины. В безразмерной форме
Fl 1
F =
2naLc0v0 яРе >
Г/ 5с\ jn
<3.84)
где сиг безразмерны (т.е. они фактически равны сх = с/с0, = r/а,
но
нижние индексы опущены, как это делалось повсюду в разд. 3.6 и 3.7). В
(3.84) (дс/дг\ _ ] зависит от 0, и, следовательно, мы должны произвести
интегрирование по цилиндрической поверхности; при малых числах Пекле
этого не требовалось и F получалось немедленно в виде (3.60).
Из (3.82) находим
/5с\ 1(дс'\ 1 61/3
^.ГТ^А-о" е rms'i*
sin1/2 9
["j*sm1/20'49']1/3
о
(3.85)
Для (3.84) нам необходимо вычислить интеграл
= j*sin1/20^ J sin1,20'49'J ^ 40 = - J1A J sin1/20'40'J/340 =
я/2
= |^sin'/2040j/3 =^r[J sml/204ej2 3=:
3
2W
Г(3/4)Т _ 2 Г (5/4) J
" 2.69. (3.86)
118
Гл. 3. Понижение размерности в диффузионных процессах
Тогда из (3.84)-(3.86) для е = (Ре) 1/3 находим из (3.62) безразмерный
пОток
61/3/ 0.581 pg7)
яРееГ(1/3)51/3 (Pe)2/3S1/3
где S выражено в (3.66) через число Рейнольдса. Размерный поток молекул
за единицу времени на длину L волоска, согласно (3.87) и (3.84), есть
__________2naLc0v0-0.581___________ 2яЬс0(ц0а)1/3Р2/3 • 0.581
t_ , 8 V'3 ~ Л 8 V/3
Тг) (т'1' + 1пж) (.2-', + ",Tte,
В книге Н. А. Фукса (1964) и обзорной статье Пича (1966) обсуждается
общая теория фильтрации аэрозолей; предыдущий и последующий разделы
отражают только часть диффузионного аспекта этой теории.
3.8. Применение к антенному фильтру и экспериментам по порогу
обонятельного восприятия бомбикола
Число молекул в 1 с, диффундирующих на каждую сенсиллу длиной L и
радиусом а, выражается соответственно формулами (3.60) для чисел Пекле Ре
< 1 и (3.87) для чисел Пекле Ре > 10 (например) или в размерной форме
соответственно формулами (3.61) и (3.88). Эти значения получены в
предположении, что молекулы представляют собой точечные массы, а волосок
перпендикулярен направлению потока. Однако молекулы обладают хоть и очень
малыми, но конечными размерами, и включение этого факта в анализ
несколько повышает собирательную эффективность волоска. Кроме того,
случайная ориентация сенсиллы на ветви антенны означает, что волоски не
перпендикулярны потоку. Однако диффузионный поток на длину L кругового
цилиндра радиуса а с осью, параллельной однородному потоку, имеет тот же
порядок, что и для волоска, перпендикулярного потоку. Таким образом, в
качестве первого приближения для количественных оценок мы можем считать
все сенсиллы перпендикулярными потоку.
Намного более существенное влияние на фильтрующую эффективность
единичного волоска оказывают соседние сенсиллы. Влияние соседних волосков
