Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях - Марри Дж.
Скачать (прямая ссылка):
условиям 0 < v < 1. Решение уравнения (3.53) должно удовлетворять
граничным условиям (3.50).
Введем новую зависимую переменную ср(г) с помощью замены
Решения уравнения (3.53) и, следовательно, (3.55) должны быть симметричны
относительно линии у - 0, т. е. симметричны по 9. Тогда после разделения
переменных имеем
где Кп(Кг)-модифицированные функции. Бесселя второго рода, а В"-
неопределенные константы. Решения (3.56) уравнения (3.55) не содержат
модифицированных функций Бесселя /", поскольку они неограниченны при г ->
оо.
Граничные условия (3.50) требуют, чтобы с -> 1 при г -> оо. При г -> ->
оо асимптотическая форма функций Бесселя такова (см., например,
справочник Абрамовица и Стиган (1965)), что
с (г) = 1 - е^*ср(г), X = уРе1;>
(3.54)
в результате чего уравнение (3.53) запишется в виде
V2tp = ^.2ф.
(3.55)
00
фМ) = X B"K"(Xr)cosnQ,
(3.56)
поэтому в (3.54)
110
Гл. 3. Понижение размерности в диффузионных процессах
Рассмотрим теперь граничное условие с = 0 при г = 1. Поскольку мы
рассматриваем случай Ре < 1, то X - (1/2) Ре v < 0.5, причем выше мы
приняли оценку Ре = 0.4, т.е. максимальное значение X составляет 0.2, так
как 0 < v < 1. Если мы теперь воспользуемся разложениями К"(Хг) для малых
Хг (см. руководства Абрамовица и Стиган (1965) или Ватсона (1952)), то
получим Хг
К0&г) = - In- + у
¦¦ОПТ1"
К.(Ьг) = 0 -
Хг мало, (3.58)
где у-постоянная Эйлера, приведенная в разд. 3.3. Видно, что при г -> 1
функции Кп(Х) с ростом п становятся все более сингулярными, т.е.
неограниченными при стремлении X к нулю. Наименее сингулярный член в
(3.56)-это В0К0(Хг). Поэтому положим Bn9i = 0, а В0 выберем таким, чтобы
(3.54) с учетом (3.58) удовлетворяло условию с (1,9) = 0 как можно
точнее. При Вп>1 = 0 в (3.56) решение с (г) уравнения (3.54) имеет вид
с (г) = 1 - <?rmsl,B0K0(Xr),
откуда следует, согласно (3.58), что при г = 1 с(1,9) = 1 - е^В0К0(Х) =
1 + f?0( In- + у j + 0( В0Х
1 Х ~2 + У
X мало1'.
' X
Шу + у
то получим
Таким образом, если мы выберем В0 = -
с(1,9) = 0 с ошибкой порядка 0(Х2) для малых X; при этом мы рассматриваем
случай X < 0.22). Тогда (3.54) превращается в приближенное решение
с(г)*1 -
е^с °seKo (>ьГ)
¦4
М = у Per ) мало. (3.59)
Поток частиц на длину L цилиндра для малых X есть, согласно (3.52) и
(3.59),
11 В оригинале было О(>.2)-автор не учел, что el cos 8 = 1 + X cos 0 +
..., и членом Я cos 0- В0К0(Х) нельзя пренебречь,-Прим. ред.
21 При 0, близких к 90°, точность повышается и становится порядка О
((Х/2)2).-Прим. ред.
3.6. Собирательная эффективность сенсиллы: число Пекле Ре < 1 111
2к
2яРе
1
= 1
<10 =
о
2п
1 f A^cose
^¦{К^Х) - cosQK0(X)}dQ =
(3.60)
{1 + О (X. In X)1 , X мало
1 1
, Ре < 1,
в силу малости величины X = (1/2) Ре и, а также известных соотношений
Если v0 -к 0, то Ре -* 0 и поток F в (3.60) имеет особенность вида
0((Ре|1п Ре п|)-1). Это сингулярное поведение отражает тот факт, что в
случае цилиндра, как и любой конечной двумерной области, уравнение
Лапласа с граничными условиями (3.50) не имеет решения.
Размерный поток FL (т. е. число молекул за единицу времени на длину L
волоска)-это, согласно (3.52), с учетом (3.60)
где у = 0.5772-постоянная Эйлера, 0 < г < 1 и Ре = v0a/D. Поток в
(3.61) не очень чувствителен к выбору осредненной скорости сЧ Если мы
выберем v = 1, 0.5 и 0.25, то FJILcqD при Ре = 0.4 равняется
соответственно 0.58, 0.41 и 0.32. Существует систематическая процедура,
разработанная Марри (1967) для получения конкретного значе-
11 Более точная оценка показывает, что этот член в действительности ~ ~
X2 In (Х/2) -Прим. ред.
*> Если только ие взять v слишком близким к нулю или In (4/Ре ю) близким
к у; впрочем, последнее невозможно, поскольку при 0<Ре<1 и 0 < v < 1
будет In (4/Ре v) - у > П)4 - 0.5772 * 0.81 > 0.
d
-KoiXy^-K^X), ХК0{Х) ШХ, XKt (А.) ~ 1 при X -+ 0.
dX
2naLc0v0
2nLc0D
(3.61)
112 Гл. 3. Понижение размерности в диффузионных процессах
ния осредненной скорости v, но для наших целей требуется лишь порядок
величины, поэтому достаточно взять любое значение, не очень близкое к
нулю.
3.7. Собирательная эффективность изолированной сенсиллы: число Пекле Ре
" 1
В этой ситуации конвективный перенос молекул более существен, чем чисто
диффузионный, но последний, как мы увидим, совершенно необходим. Здесь
уравнение (3.49) имеет малый параметр 1/Ре" 1 при старшей производной, и
с граничными условиями (3.50) задача вновь, как мы увидим, является
задачей сингулярного возмущения. Для получения количественных результатов
из последующего анализа число Пекле может быть не слишком большим, хотя
приближения первого порядка, как мы покажем, имеют ошибку 0((Ре)_1/3). Во
всяком случае, удовлетворительные качественные результаты получаются для
Ре ^ 10.
Здесь удобно ввести малый параметр е = 1ДРе)1/3 и привести математическую
задачу к виду
(v-V)c = e3V2c, е3 = - = 1,
Ре v0a
(3.62)
с (г) ->• 1, г -* со; с (г) = 0, г = 1.
Сингулярный характер возмущения в (3.62) при е -* 0 очевиден, если
