Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях - Марри Дж.
Скачать (прямая ссылка):
F
In
1
1 2тiaLc0v0 2яРе
<352>
В дальнейшем для удобства мы опускаем индекс 1 при обозначении
безразмерных величин, однако следует помнить, что, если не указано
противное, имеются в виду только безразмерные переменные.
Точное аналитическое решение уравнения (3.49) с у (г) из (3.45)-(3.47) в
безразмерной форме и граничными условиями (3.50) в какой-либо простой
форме не найдено (и вряд ли может быть найдено), так что мы должны
пытаться найти приближенное решение. Величина числа Пекле Ре в (3.49)
определяет выбор используемого для этого метода. Число Пекле, приведенное
в (3.48), является мерой отношения конвективного переноса к
диффузионному. Когда Ре " 1, распределение концентрации обеспечивается
прежде всего чистой диффузией. Когда Ре" 1, существенна конвекция. В этом
случае задача, образованная уравнением
(3.49) с граничными условиями (3.50), представляет собой еще один
пример сингулярного возмущения, поскольку малый параметр 1/Ре является
множителем у старшей производной.
На основании экспериментов Бокха и др. (1965) v0 х 100 см/с и радиус
волоска ах 10 " 4 см. Трудность состоит в уточнении значения коэффициента
диффузии D; пока что его невозможно было измерить. Адам и Дельбрюк (1968)
приняли значение D = 2.5 • 10 " 2 см2/с, проэк-страполировав11 его от
известных значений для паров некоторых орга-
11 Для сравнения укажем, что коэффициент диффузии кислорода в воздухе
равен 0(10" ') см2/с, в то время как в растворе гемоглобина в
экспериментах, описанных в гл. 2, его величина составляет 0(10'5) см2/с.
108
Гл. 3. Понижение размерности в диффузионных процессах
нических соединений в воздухе на молекулярную массу бомбикола. Для этого
значения D число Пекле Ре = 0.4;. это означает, что диффузия вносит более
существенный вклад, чем процесс конвекции, но последним нельзя
пренебречь. С другой стороны, если D - 0(10" 3) см2/с, то Ре = 0(10), что
с точки зрения асимптотики может считаться большой величиной. Значение D
в диапазоне от 0(10"2) до 0(Ю~3) является вполне реалистическим.
Уравнение (3.49) с различными у (г) изучалось в исследованиях по
фильтрации аэрозолей. Здесь упор делается на определение числа частиц,
которые могут быть отфильтрованы из потока воздуха с помощью системы
волокон, обычно идеализируемых в виде круговых цилиндров. В большинстве
практических задач волоконной фильтрации число Пекле очень велико,
главным образом из-за малости коэффициента диффузии D для аэрозолей. Если
оставить пока в стороне вопрос о величине числа Пекле, задачи фильтрации
аэрозолей, очевидно, имеют отношение к рассматриваемой здесь ситуации, а
именно к фильтрационным свойствам антенн. Можно указать две книги,
посвященные аэрозолям,-монографию Н. А. Фукса (1964) и сборник обзорных
статей под редакцией Дэвиса (1966). Эти вопросы обсуждаются также в
упомянутой выше книге В. Г. Левича (1959).
Рассмотрим теперь отдельно случаи малого (Ре < 1) и большого (Ре " 1)
чисел Пекле.
3.6. Собирательная эффективность изолированной сенсиллы: число Пекле Ре
< 1
Если число Пекле очень мало, то 1/Ре " 1, и можно предположить (как
оказывается, ошибочно), что асимптотическая форма уравнения
(3.49) соответствует чистой диффузии, т.е. конвективным переносом
можно пренебречь, и уравнение принимает вид V2c = 0. Однако с граничными
условиями (3.50), т.е. с(1) = 0, с(оо) = 1, эта задача не имеет решения.
Таким образом, даже для очень малых чисел Пекле в стационарном случае
конвективными членами нельзя пренебречь повсюду. Это задача сингулярного
возмущения, относящаяся к важному классу задач, в которых малый параметр
не является множителем при старшей производной; математические задачи для
обыкновенных дифференциальных уравнений такого типа подробно обсуждаются
в приложении 1, посвященном методам сингулярных возмущений. Этот особый
класс задач конвективной диффузии достаточно подробно освещен в
литературе по гидромеханике; здесь мы приведем модификацию метода,
изложенного в книге под редакцией Розенхеда (1963).
Поскольку конвекцией нельзя пренебречь, сразу же возникает задача: как
аппроксимировать конвективные члены (v-V)c в (3.49) с полем скоростей у,
заданным в (3.44)-(3.47)? На поверхности цилиндра (г = 1) v = 0, в то
время как у -> i при г -*¦ оо. Если в качестве первого ша-
3.6. Собирательная эффективность сенсиллы: число Пекле Ре < 1 109
га мы заменим v на Й, где г-некоторое среднее значение скорости потока в
рассматриваемом пространстве, т.е. 0 < v < 1, то мы как-то учтем влияние
конвективного переноса. Это напоминает метод Озеена в теории течений
вязкой жидкости (см. книгу под редакцией Розенхеда (1963)). В
действительности такая процедура равносильна тому, что поле скоростей
считается состоящим только из возмущения однородного течения на
бесконечности. Таким образом, конвективный член (у ¦ V) с
аппроксимируется членом вида (й • V) с, и уравнение (3.49) приводится к
виду
где г-пока еще не определенная положительная постоянная, удовлетворяющая
