Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях - Марри Дж.
Скачать (прямая ссылка):
первый член в выражении для p(t) в (3.14) дает очень точную оценку в
(3.17) для среднего времени т(1) в (3.16). При рассмотрении обонятельных
процессов мы обычно имеем b " а; это означает, что источник феромона
находится очень далеко от мишени.
(ii) Двумерная диффузия в области а < г < b
Из (3.4)-(3.6) в осесимметричном случае получаем двумерную задачу,
сходную с (3.7):
с (г, 0) = с0, а < г < Ь.
Здесь также решение получается непосредственно, но алгебраически
процедура более сложна и приведена в разд. А3.1. В результате для доли
частиц, оставшихся в пространстве, имеем (сравните с (3.14))
п = О
(3.17)
с (а, г) = 0; - = 0 при г = b, t ^ 0,
(3.18)
00
р<2,(0 = р(2) (0) X
(3.19)
где
(3.20)
а уп-корни уравнения
J0(ку) yi Су) - Yo(ky)Ji Су) = 0;
(3.21)
96 Гл. 3. Понижение размерности в диффузионных процессах
здесь Jn, Yn-функции Бесселя порядка п 1).
Подстановка (3.19) в (3.3) дает среднее время т(2) в виде
00
т<2> = X Д<2У", (3.22)
П= 1
где А(2) и приведены в (3.20).
Для малых к = а/b (к < 10" *) доминирующим членом ряда (3.22) является
Используя в (3.20) разложения в ряды для бесселевых
функций J0 и Jj, получаем
! " Ь?(1-У?/8 + ...)2
Л<2> = -i
i-fc2 у? V_- Л_zL4-
4 + "7 4 V 8
yi/4 + ¦•¦ = j + 0{к2), к мало (yi -* 0 при
к -"0).
1-fc2 1 - yf/4 - ВД2+ ...
Таким образом, из (3.22), используя (3.20), получаем первое приближение
для т(2) (сравните с xjj1 * в (3.17))
т(02" = А(2У, " /с < 10"1. (3.23)
Адам и Дельбрюк (1968) подсчитали т(2) по формуле (3.22) с помощью
(3.20) и нашли, что приближенное выражение т{,2) по (3.23)
соответствует т(2) с точностью 6%. Таким образом, для практически? целей,
когда к = = 0(10" *) или меньше, как это имеет место в случае
обонятельного процесса бабочки тутового шелкопряда, среднее время
диффузии можно определять согласно (3.23). Для к < 10"1 уг будет порядка
0(1) или меньше. Некоторые значения у1 были подсчитаны Адамом и
Дельбрюком (1968) и приведены в табл. 3.1. Для к < 10" 2 из (3.21) можно
получить простое приближенное соотношение между уг и к, если в это
уравнение подставить следующие разложения для бесселевы? функций:
Jofiy i) = 1 + 0(k2yf) + ..., JjO/Д = -у + 0(yj),
2 г ,Л_ кУ 1 . ..\ ,
Yoiky^ = -JoikyJlbi- + У ) + 0(k2yi),
^iOa) =-------- + --У1 + 0(у21пу!),
it yj it 2 2я
у = 0.5772 (постоянная Эйлера).
1} См., например, книги Ватсона (1952) и Абрамовича и Стиган (1965).-
77рыл*. ред.
3.3. Средние времена диффузии
97
В результате (3.21) аппроксимируется уравнением
-Д- = 21п&_ 1 - 1, (3.24)
У1
откуда получается значение у1г отличающееся при к < 10"3 от точного корня
не более чем на 2%. Если к " 1, например меньше чем 10" 4, (3.24)
достаточно точно аппроксимируется уравнением
_L = Alnfc-1, к" 10- (3.25)
УХ 2
которое может быть использовано для подстановки в (3.23).
Таблица 3.1
к КГ1 5¦ 10~ 2 2-10" 2 10"2 5 10" 3 10~3 10~4
у, 1.103 0.927 0.792 0.726 0.660 0.568 0.485
(iii) Трехмерная диффузия в области а < г < Ь
Рассмотрим центрально-симметричную задачу с однородным начальным
распределением с0; задача (3.4)-(3.6) тогда приводится к виду
с = до".!Цгг М
' г2 дг V дг)'
дс
с {a, t) = 0, - = 0 при г = b, t > 0, (3.26)
дг
с(г,0) = с0, а < г < Ь.
Здесь анализ, более детально проведенный в разд. А3.2 приложения 3, дает
следующее выражение для доли частиц, остающихся в диффузионном
пространстве (сравните с (3.14) и с (3.19), (3.20)):
р<3>(() = р(3)(0) ? А^е-Ч", (3.27)
П= 1
где
р(3)(0) = с0уя(63 - a3), v" = Д2 , к = а/Ь,
з) = 6[sin {(1 - к)хп} - x.cosftl - к)хп} + /сх"]2 (1 - fc3)xj[(l - *> -
(1 + х2)-']
(3.28)
98
Гл. 3. Понижение размерности в диффузионных процессах
а х"-положительные корни уравнения
xctg{(l - к)х} = 1. (3.29)
Среднее время диффузии т(3) получаем из (3.3), используя (3.27), в виде
00
т(3) = ? А(3Ч (3.30)
п- 1
с выражениями для А},3) и v", приведенными в (3.28). Для данного к корни
х" уравнения (3.29) легко вычисляются. В табл. 3.2 представлены некоторые
значения для малых к из книги Карслоу и Егера (1959). Подстановка
этих значений для х" в (3.30), где (3.28) вычислены при к ^ 10' \
показывает, как и следовало ожидать, что первый член в (3.30), а именно
j4(i3)Vi, дает хорошую аппроксимацию для т(3). Для к < 10'1 Х[ достаточно
мало (см. (3.33)), что дает возможность разложить Л(3) в (3.28) в ряд по
Xj; в результате получаем А(3) а: 1. Таким образом, первое приближение
Tq3) для среднего времени диффузии т(3) в (3.30) при к < 10'1 дается
выражением
= A?\lXVl = ~-~. (3.31)
Это, конечно, достаточно точная аппроксимация среднего времени для
большинства практических целей при к < 10'1.
Таблица 3.2
к xi *2 х3 *4
10'1 0.603 5.02 8.60 12.13
5-10" 2 0.406 4.74 8.14 11.48
5 • 10 ~ 3 0.123 4.52 7.77 10.96
Приближенные решения для х" при к ^ 10" 1 получаются простым разложением
левой части уравнения (3.29) в ряд Тейлора в окрестности соответствующего
х. Первый корень х1 получается из разложения около х = 0 в виде
"2 _ 6к
Л г '¦w ----------------- ,
