Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях - Марри Дж.
Скачать (прямая ссылка):
положить е = 0, после чего уравнение сводится к виду (v-V)c = 0, откуда
получим
с (г) = const (3.63)
в качестве единственного разумного решения. Оно может удовлетворять
условию с = 1 при г -> со, но не может одновременно удовлетворять условию
с = 0 при г = 1. Этого следовало ожидать, поскольку пренебрежение членами
сев (3.62) понижает порядок уравнения на единицу. Решение с = 1 или
(3.63) играет здесь роль подходящего внешнего решения. (См. приложение 1,
где обсуждается на примерах этот тип задач сингулярного возмущения.)
Класс уравнений с частными производными вида (3.62) с е " 1 широко
изучался в связи с погранслойными течениями при больших числах
Рейнольдса; см., например, книги Годцстейна (1960) или под редакцией
Розенхеда (1963).
Мы вновь приходим к уже знакомым рассуждениям для этого типа задач
сингулярного возмущения. Поскольку решение (3.63), а именно с = 1, не
может удовлетворять граничному условию на поверхности цилиндра г = 1, то
правой частью (3.62), т.е. e3V2c, нельзя пренебречь вблизи цилиндрической
поверхности, поэтому необходимо исследовать
3.7. Собирательная эффективность сенсиллы: число Пекле Ре"1 113
уравнение в непосредственной близости к г = 1. Вблизи цилиндра, где с -*
0 при г -ь 1, должна быть тонкая сингулярная область (в данном случае
диффузионный слой), в которой с (г) изменяется достаточно быстро, чтобы
e3V2c было сравнимым с конвективным вкладом (v-V)c. Диффузионный слой
позволяет сшить решение, справедливое вблизи г - 1, с внешним решением с
= 1. Заметим, что в этой двумерной ситуации диффузионные члены не могут в
диффузионном слое настолько доминировать, чтобы можно было пренебречь
конвективными членами, поскольку в противном случае мы имели бы уравнение
V2c = 0 с граничными условиями с = 0 при г = 1 и условием сращивания с ->
1, когда растянутая переменная г стремится к бесконечности; эта задача,
как упоминалось в начале разд. 3.6, не имеет решения. Таким образом, в
сингулярном (диффузионном) слое должно быть равновесие между диффузией и
конвекцией.
В плоских полярных координатах г, 9 (рис. 3.3) уравнение (3.62)
приобретает вид
дс v~ дс ,(д2с 1 дс 1 д2с \
"гйг + Тг<Г = е + 7 + Т2-гег)' ( }
где компоненты скорости жидкости vr, ve в направлениях г, 9
соответственно даны в (3.44), поскольку число Рейнольдса нашей задачи
мало (Re < 1). Для внутреннего (сингулярного или погранслойного) решения
вблизи цилиндра мы должны растянуть переменную г в окрестности цилиндра,
чтобы исследовать этот тонкий слой. Для этого произведем замену
переменной
где ос следует определить таким образом, чтобы правая часть (3.64)
вносила вклад в член (или члены) в первом приближении такого же порядка,
как наибольший член в левой части уравнения.
Поскольку в сингулярной (внутренней) области г = О (1), то
соответствующее поле скоростей v получается из (3.44), (3.45) после
приведения к безразмерному виду с помощью (3.48), причем нижний индекс 1
опускается:
(3.65)
(3.66)
114 Гл. 3. Понижение размерности в диффузионных процессах
С учетом преобразования (3.65) это дает
vr - - {е2(r)^2 + О (е3(r)?3)} cos 0, S
-Ue = l{-2e(r)^ + O(82"^2)}sin0.
Г j
(3.67)
Так как д/дг = е~л8/8^, то для функции с(?,,9) из (3.64) с помощью
(3.65), (3.67) получаем следующее дифференциальное уравнение в
сингулярной области вблизи цилиндра для е " 1:
6'со,в~Щ- - 25$'п9|г
2"\ с3 - 2а
+ О (е ) = ?
д с
W
+ 0(е
з
(3.68)
Чтобы доминирующий член в правой части (3.68), а именно О (е3 " 2"), был
при Е-* 0 того же порядка, что и доминирующий вклад левой части, степени
е должны быть одинаковыми, т. е. е" = е3 ~2(r), откуда следует а = 1, и,
следовательно, преобразование (3.65) окончательно определено. При а = 1
доминирующие члены одного порядка в (3.64) образуют следующее уравнение,
полученное из (3.68) и (3.65) при а = 1:
!;2cos9-^- 2^ sin 9
К
8с
<59
д2с
W
г - 1
(3.69)
Фактически мы использовали в (3.69) для поля скоростей v приближенную
безразмерную функцию тока ф, = <|//г0а из (3.45), проделав преобразование
% = (г - 1)/е и сохранив только основной член (вновь для удобства опущен
нижний индекс 1); эта функция имеет вид
ф = - e2?2sin0 + 0(е3).
J
(3.70)
Отсюда нетрудно найти компоненты скорости
1 5ф г 50
5ф
дг
5ф
~8Q
е^2 S
1 <5ф
е 8Е,
cos в + 0(е3
(3.71)
-E^sin0 + 0(е2).
Видно, что ошибка в (3.69) по сравнению с (3.64) порядка 0(e) для г,
3.7. Собирательная эффективность сенсиллы: число Пекле Ре"1 115
близких к г = 1. Условия для с(?,, 9) состоят в том, что это решение
должно сращиваться с внешним решением с = 1 при ^ -> оо и удовлетворять
граничному условию с = 0 при ? = 0 (т.е. г = 1); тем самым для (3.69)
имеем
Задача (3.69), (3.72) исследована в работе Г. JI. Натансона (1957).
Приведенный ниже анализ, достаточно стандартный в гидромеханике, следует
в основном этой работе.
Для решения уравнения (3.69) удобно воспользоваться независимыми
переменными1( 9 и Ч* = \|г/е2 вместо 9 и где \|/ как функция ?, и 9
