Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях - Марри Дж.
Скачать (прямая ссылка):
исходную систему такой, что
д (х, у) = 0 ^ у = ф (х), (А1.74)
где ф (х)-непрерывно дифференцируемая функция х, и что уравнение первого
порядка, полученное подстановкой у = ф (х) в первое уравнение (А1.72),
при начальном условии (А1.73), т.е.
dx
- =/(х, ф (х)), х(0) = х0, (А1.75)
at
имеет единственное решение X0(t) на некотором конечном интервале, для
определенности 0 ^ t < 1. Пусть У0 (t) определено соотношением
У0 (t) = Ф (Х0 (t)). (А1.76)
Далее мы будем считать исходную систему такой, что для некоторого К > 0 в
интервале 0 ^ t < 1
Ю-
< -К и
= х (о
дд
ду:
< -К, К> 0, (А 1.77)
Х(0)
для всех X, лежащих между У0 (0) и у0, которые в большинстве практических
задач различны. Причины этих предположений станут ясны ниже. Мы докажем,
что в этих предположениях решения системы (А1.69)-(А1.71) таковы, что
lim x(t; е) = X0(t), lim y(t; г) = Уо(0- (А1.78)
е -> О Е -• О
Поскольку Х0 (0) = х0 = х (0; е), следует ожидать, что решение Х0 (t),
т.е. решение задачи (А1.75), будет равномерной асимптотической формой для
x{t;e) при ? -> 0, по крайней мере в интервале 0 < t < 1. С другой
стороны, так как в общем случае У0 (0) Ф Уо = У(0; е), то У0(4 по-
видимому, не будет равномерной асимптотической аппроксимацией для у (t;
е) при t = 0, когда ?-*¦(). Она будет ею, конечно, если У0 (0) = = Уо, но
это редкое исключение, и мы будем предполагать, что здесь этот случай не
имеет места. Ниже мы получим также равномерно пригодные асимптотические
разложения при е -> 0 для х (t; е) и y(t;e).
Если пренебречь в (А1.70) членом edy/dt, то полученная система даст для у
решение Уо(0, не удовлетворяющее при t = 0 начальному уело-
326
Приложение 1
вию. Поэтому возникает идея с помощью некоторого преобразования ввести
новую переменную !; = !;(?, е) так, чтобы вблизи t = 0, т. е. области
неравномерности у (t; е), член edy/dt лишился множителя е. На основании
опыта предыдущих разделов следует выбрать преобразование вида
?, = t/e. (А1.79)
Если бы мы, например, выбрали Е, = t/zc, то из последующего анализа
вытекало бы с = 1; метод аналогичен использованному в разд. А1.3.
Предвидя, что при внутреннем предельном переходе, когда ? -> О, a t
находится в интервале 0 < t" 1 (т.е. при фиксированном <;), x(t; е) и у
(г; е) стремятся к Х0 (t) и У0 (f), целесообразно искать асимптотические
разложения решений в форме
х (г; е) = X (t; е) + м(^; е),
(А 1.80)
y(r;e) = y(f;e) + r(^;e),
где X (t; е), У (t; е)-внешние, или несингулярные, части решения, а и (^;
е), v (с,; е)-его внутренние, или сингулярные, части. Для (А1.80) условие
сращивания состоит в том, что миг при Е, -* оо должны обращаться в нуль.
Поэтому потребуем, чтобы
lim м(^; е) = lim г(^; е) = 0. (А1.81)
оо оо
Поскольку X (г; 0) (= Х0 (г)) удовлетворяет при t = 0 граничному условию
для х (t; е), а именно первому условию (А1.72), мы будем также иметь
м(0; е) = 0 для всех е ^ 0. (А1.82)
Будем теперь искать асимптотические разложения X, У, и и v при е I 0,
опираясь на асимптотическую последовательность {е"}, т. е. запишем
X(r;e)~ ? е"*"(г), У(г;е)~ ? е"У"(г),
"'° " = ° (А1.83)
M^;e)~ ? еХЙ), vg;z)= ? ?nvng), е -> 0.
и = О л = 0
Сначала получим внешнее решение, а именно X (t; е) и У (t; е). С учетом
(А1.80) и (А1.81) внешнее разложение находится подстановкой выражений для
А и У из (А1.83) в (А1.69) и (А1.70) и решением рекуррентной системы
уравнений для Хп, Yn. При этом мы используем для /ид ряды
Приложение 1
327
Тейлора в форме
/( I ГХа(г), X е"Ул(0) =
= /(Х0, У0) + е
[
)х , у ' V дУ
д( I е"Х"(0, X е"Уя(0) =
п = О и * О
= д(Х0, У0) + е
'00 4 '00
+ ....
Из (А1.69), (А1.70) получаем систему порядка 0(1)
dX0
dt
систему порядка О (s)
dXt ( 8f
= f(Xо, Уо),
О = д(Х0, У0),
'00 ^ \ у ^0
х , у 1
(А 1.84)
(А1.85)
и т.д. простым приравниванием членов с одинаковыми степенями е.
Как следует из предположений, сделанных относительно укороченной (е = 0)
системы, т.е. (А1.74)-(А1.76), система (А1.84) обладает решением, для
которого
Хо(0) = хо, y0(t) = Ф(Х0(0). Согласно (А1.77), второе уравнение (А1.85)
дает
У, (О =
1 1 / 'dg~
dt \ 8x )x , у 1 4 '00 _i / Jy.
(А1.86)
(А1.87)
поэтому из (А 1.85). получаем линейное уравнение для Хх (t) dXx
dt
= 'К + ш (t)>
' '00 \ 4 ' ' о о
Hi (0 =
dY0 ( df / 8g
dt \dy / dy)X'Y'
(A 1.88)
328
Приложение 1
решение которого получается просто. В общем случае рекуррентный процесс
требует решения линейных уравнений вида
у; (0 = 0,(0+ МО-МО,
(А1.89)
= 'МО*,- + МО, -
где а,-, Р;, vpi и д; суть функции только t, зависящие от предыдущих
членов Х0, Хи ..., X,.,, У0, У" У,_
Решения этих уравнений не могут быть определены полностью, так как
граничные условия зависят от сингулярного (внутреннего) решения.
Поскольку
Х(0) = хо, Г(0) = у0 и Х0 (0) = х0, то с учетом (А1.80) и (А1.83)
получаем Х,(0) = -м;(0), /> 1,
(А1.90)
(°) = хо ^ "о (О) = °-
Таким образом, пока м, (0) не станут известны, каждое X; (г) содержит
неопределенную постоянную.
Рассмотрим теперь сингулярную (внутреннюю) область вблизи t = = 0, где
