Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Марри Дж. -> "Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях" -> 131

Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях - Марри Дж.

Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях — М.: Мир, 1983. — 396 c.
Скачать (прямая ссылка): nelineyniediferincialnieurovni1983.djvu
Предыдущая << 1 .. 125 126 127 128 129 130 < 131 > 132 133 134 135 136 137 .. 154 >> Следующая

соответствующей переменной является ?, = г/е. Система (А1.69), (А 1.70) с
учетом (А1.80) принимает вид
-щ- = еЯ*Йе; е) + ug; е), Уge\ е) + vg; е)) - е/(Age; е), Уge; е)),
(А1.91)
= g(Xge; е) + ug; е), У?е; е) + vg; е)) -g(Xge; е), Ygs; е)).
Граничное условие для vg;e) находится из (А1.71) с учетом (А1.80):
v (0; е) = у0 - У (0; е). (А1.92)
Найдем теперь и и v в виде разложений при е -> 0, используя (А1.83) в
уравнениях (А1.91) и (теперь уже привычным образом) приравнивая члены с
одинаковыми степенями е. Система порядка О (1) получается, если положить
в (А1.91) е = 0 при фиксированном т.е. при внутреннем предельном переходе
(А1.44). Это дает, согласно первому уравнению (А 1.91),
Приложение 1
329
так как и (0; е) = 0 согласно (А1.82). Тогда и = ей, где разложение й(<;,
е) имеет Mi (2j) в качестве первого члена, причем для й и v система
порядка О (1) приобретает вид
~ = Жо (0), То (0) + 1>о (У) - Ж о (0), т0 (0)),
(А1.93)
~г = д{х0 (0), Т0 (0) + v0 й)) - д (Х0 (0), У0 (0)). ас,
Заметим, что, вообще говоря, эта система уравнений первого порядка
нелинейна. Однако она распадается на два независимых уравнения, так как
второе уравнение (А1.93)-это уравнение только относительно v0 (<;).
После того как v0 (с,) найдено, первое уравнение (А 1.93) позволяет найти
Щ &
Граничные условия получаем из (А1.82) и (А1.92) с учетом разложений
(А1.83):
ui (0) = 0, v0 (0) = у0 ~ Y0 (0). (А 1.94)
Выражение у0 - Т0 (0) представляет собой скачок в пограничном слое. Дело
в том, что в общем случае У0 (0) ф у0, поэтому требуется v0 (У, чтобы
осуществить этот переход. Так как А0(0) = х0, для x(t) такого
погранслойного решения с точностью до членов порядка О (1) не требуется,
поэтому получилось м0 (<;) = 0.
Рассмотрим более подробно (А1.93) и получим некоторые общие результаты,
касающиеся решений. По теореме о среднем
Жо (0)), Yg (0) + Vg (У) - Жо (0), Уд (0)) = Vg (У F (Vg (У),
(А 1.9 5)
д (Хд (0), Т0 (0) + Vg (У) - д (Х0 (0), У0 (0)) = г0 (У G (г0 (У),
где F и G-это Sf/дд и дд/ду, подсчитанные при х - Х0 (0) и у, равном
соответствующему значению X (с,) между ^ (0) и Y0 (0) + v0 (с,). Поэтому
уравнения (А 1.93) можно записать в форме
^- = Vg(^F(V0m ^-=Vg(Z)G(Vg(r)). (А1.96)
Однако из второго условия (А1.77) при Е, = 0 следует, что G < - К < < 0,
и потому ]г0 (У | вначале убывает. На основании первого предположения в
(А1.77) мы можем теперь сказать, что G остается отрицательным, и из
второго уравнения (А1.96) следует, что |у06)| убывает для всех Е, -* оо
(т.е. внутри интервала 0 < t < 1, если е -> 0). Таким образом, из второго
уравнения (А1.96) получаем с помощью (А1.77) еле-
330
Приложение 1
дующую оценку для |"0(?)|:
К(c)| < |uo(0)|e"^. (А1.97)
Так как г0Ю удовлетворяет нелинейному уравнению (А 1.93), это решение,
вообще говоря, не всегда можно найти аналитически. Однако его всегда
можно получить численно или методом последовательных приближений,
примененным к соответствующему интегральному уравнению, вытекающему из
(А1.96):
"о (?) = vo (0) + j v0 (s) G {v0 (s)) ds,
(A 1.98)
"о (0) = y0 - To(0).
Когда v0 (E,) найдено, первое уравнение (A 1.96) немедленно дает ul (?,)
в виде
"1 (?) = I "о (s)F К (s)) ds> (А1.99)
00
так как, согласно (А 1.81), Uj (со) = 0.
Таким образом, мы полностью определили внутреннее, или сингулярное,
решение для y(t) с точностью до членов порядка 0(1) и для х(?)
с точностью до членов порядка 0(e). Отсюда в силу (А1.99) мы полу-
чаем Mi (0), что вместе с (А1.90) дает нам начальное значение Xг (0).
После этого Хх (с) может быть найдено точно из (А1.88). На этой стадии
асимптотические разложения решения задачи (А1.69)-(А1.71) имеют вид
х (t; е) ~ Х0 (t) + е [Xi (0 + (t/e)] + о (е),
е -> 0. (А1.100)
y(t; е) ~ У0(?) + v0 (t/e) + о(1),
(Заметим, что если в исходной системе (сд/ду)Хо{щ у ^ а > 0, то решение
v0 (<;) второго уравнения (А1.96) станет неограниченным при ?, -* -> оо,
так как оценка, аналогичная (А1.97), будет содержать экспоненту вида
е"5.)
Пример такой задачи сингулярного возмущения был исследован в гл. 1-это
уравнения (1.20), (1.21) с условиями (1.22). Здесь
/(*.,)= -" + (* + К-Х)О>0х>0 t Six. у) = х - ix + К|у, j
Решение было найдено в гл. 1 менее строгим путем, но, конечно,
Приложение 1
331
в принципе это то же самое решение. Здесь
dt Xq -I- X
и, следовательно, Х0 (г) существует, и Х0 (г) > 0 для всех конечных г.
Отсюда
(дд/су)хаи), т (о - - (*оМ + -К) < о, (сд/8у)х^о), р ~ - (1 + К) < о,
где 0 < р < 1/(1 + К). Таким образом, все условия (А1.74)-(А1.77)
существования асимптотического разложения решения выполнены.
А1.5. Экспоненциальный асимптотический метод
Для слабо нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений можно
применить один очень полезный метод получения асимптотических разложений
решений. Он часто оказывается более быстрым, чем изложенный выше. Чтобы
описать этот метод, рассмотрим для простоты линейное скалярное уравнение
второго порядка
где/= q - (е/2)р' - (е/4)р2. Таким образом, без потери общности можно
Предыдущая << 1 .. 125 126 127 128 129 130 < 131 > 132 133 134 135 136 137 .. 154 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed