Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Марри Дж. -> "Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях" -> 124

Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях - Марри Дж.

Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях — М.: Мир, 1983. — 396 c.
Скачать (прямая ссылка): nelineyniediferincialnieurovni1983.djvu
Предыдущая << 1 .. 118 119 120 121 122 123 < 124 > 125 126 127 128 129 130 .. 154 >> Следующая

вблизи х = 1. Таким образом, в этой ситуации, когда е > 0, единственное
равномерное асимптотическое решение при е| 0-это (А1.18), т.е. здесь
пограничный слой, или сингулярная область, находится вблизи х = 0 и имеет
вид, показанный на рис. А1.1,а.
Этот пример показывает, что даже если укороченная форма (А1.7) с е = 0 не
имеет единственного решения, то метод сингулярного возмущения дает
правильную асимптотическую форму точного решения, когда в j, 0.
Аналогично можно показать, что если е<0 и еТО, вновь получается
единственная правильная асимптотическая форма (теперь (А 1.12)). Здесь
сингулярная область расположена возле х = 1, а не возле х = 0; этот
случай иллюстрируется рис. А 1.1, б.
Рассмотрим теперь граничные условия, отличные от (А 1.9) и
соответствующие задаче с начальными данными, а именно условия
u(0;e) = u0, и'(0;е) = U0,
(А1.19)
Приложение 1
309
где ц, и U0 не зависят от е. Опять несингулярное возмущенное решение-это
(А 1.17), и вновь оно не может удовлетворить обоим условиям (А 1.19). В
этом случае, однако, нет иного выбора для а0, кроме_ а0 = и0. Для
сингулярного решения u(t,;z) с ?, - х/е, как и ранее, выполняется
= 0^ й(^;е) = а + be"1', (А1.20)
где а и Б-подлежащие определению постоянные. Тогда м (с,; е) при ?, -* -*
оо должно стремиться к регулярному решению и, которым здесь служит и =
и0; это дает а = и0. Кроме того, й(с.;к) должно удовлетворять второму
условию (А 1.19), из которого, согласно (А 1.20), следует
U = - 0 dx
: = О
1 du
е dt,
¦ b = - zUn
и окончательно имеем
u(t,- е) = и0 - zU0e"!'.
Таким образом, асимптотическое решение, удовлетворяющее обоим условиям (А
1.19), имеет вид
м(х;е) ~ и0 - EU0e~x/E, е|0. (А1.21)
В этом случае точное решение (А1.7), (А1.19) есть
и(х; е) = и0 + et/0(1 - е_х/Е) = (и0 - eU0e~x/t) + 0(e), е|0. (А1.22)
Таким образом, асимптотическое решение (А1.21) отличается от точного на
член О(е), а именно zU0. В пределе, когда е J. О, оба решения (А1.21) и
(А 1.22) удовлетворяют первому из условий (А 1.19). Оба стремятся к и0
при ? j, 0 для всех х ^ 0, и это в точности решение уравнения и' = О,
удовлетворяющее первому условию (А 1.19). Однако м'(х;е) для обоих
решений при е J. О не будет сходиться равномерно, и в пределе второе
условие (А 1.19) для м0 Ф 0 не выполняется.
В этом примере теперь возникает вопрос, как методом сингулярного
возмущения определить поправку порядка 0(e) к (А1.21), которая, как мы
знаем из точного решения, равна z(J0. Эту процедуру мы продемонстрируем в
следующем примере.
У рассмотренного выше конкретного дифференциального уравнения регулярно
возмущенное решение представляло собой просто постоянную, и одна из
важных концепций метода сингулярного возмущения не затрагивалась.
Небольшая модификация уравнения (А1.7) устраняет этот недостаток; такое
уравнение обсуждается в следующем примере.
С чисто описательной точки зрения регулярная часть решения обычно
называется внешним (или несингулярным) решением, в то время как
сингулярная часть (в рассмотренном примере в той области, где ем" не
310
Приложение 1
равно 0(e)) называется внутренним (или сингулярным) решением. В
рассмотренном примере (А1.17)-это внешнее решение, а (А1.18) и (А1.21)-
внутренние решения.
2. Рассмотрим обыкновенное скалярное дифференциальное уравнение для
и(х;е) при 0 < х < 1, 0<е"1
ей" + и' + и = О (А1.23)
с граничными условиями
м(0;е) = U0, и(1;е) - IV (А1.24)
где U0 и Uу -постоянные, не зависящие от е. Будем искать асимптотическое
решение при е -> 0.
Вдали от границ справедливо внешнее решение, и мы будем искать его в виде
регулярного ряда Тейлора по е типа (А1.16). Подставляя (А1.16) в (А1.23)
и приравнивая члены с одинаковыми степенями е, получаем уравнения
мо + и0 = 0, и j 4- Mi = - и'о, и 2 + и2 = - Wj,..., (А1.25)
решения которых имеют вид
и0(х)=а0е~х, щ (х) = а1е~ х - а0хе~ х,- (А1.26)
Заметим, что это регулярно возмущенное решение не может удовлетворять
обоим граничным условиям и, следовательно, есть по крайней мере одна
сингулярная область вблизи х = 0 и (или) х = 1. Следующая асимптотическая
процедура определяет эту область, как и в рассмотренном примере 1. (В
действительности погранслой расположен вблизи х = 0.)
Потребуем сначала, чтобы (А 1.16) удовлетворяло второму условию (А 1.24):
м0(1) + ем,(1) + ... = ы0(1) = [/,, м"&1( 1) = 0.
На основании (А1.26) это позволяет определить
а0 = IV, = IV,...,
так что внешнее (несингулярное) решение, справедливое при 0 < х < 1,
имеет вид
м(х;е) = IV'~X+ еП,(1 - х)е1~х + 0(е2), (А1.27)
причем выполняется условие м(1 ;е) = IV Это решение не является
равномерным асимптотическим решением задачи (А 1.23), (А 1.24) при е -* -
> 0, так как нетрудно проверить, что оно не удовлетворяет граничному
условию при х = 0.
Приложение 1
311
Будем искать теперь внутреннее (сингулярное) решение уравнения (А 1.23),
пригодное в точке х = 0 и ее окрестности. Вспоминая пример 1, введем
растянутую переменную Е, = х/е и будем искать решение в форме
Предыдущая << 1 .. 118 119 120 121 122 123 < 124 > 125 126 127 128 129 130 .. 154 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed