Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Марри Дж. -> "Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях" -> 135

Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях - Марри Дж.

Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях — М.: Мир, 1983. — 396 c.
Скачать (прямая ссылка): nelineyniediferincialnieurovni1983.djvu
Предыдущая << 1 .. 129 130 131 132 133 134 < 135 > 136 137 138 139 140 141 .. 154 >> Следующая

и т.д. Аналогично из (А2.15), (А2.16) следует
= 0 при Е, = 0, (А2.26)
= 0 при Е, = О (А2.27)
и т. д.
Внутреннее погранслойное (или сингулярное) решение У=д(^;е) должно
сращиваться с внешним решением Y = f(xt; г), когда мы покидаем
сингулярную область вблизи хх = 0. Математически, согласно (А2.13), это
то же самое, что положить Е, -> ос в д (с,; е). Но Е, -> оо означает, как
следует из (А2.13), что х1 мало, но отлично от нуля, и е -> -> 0. Таким
образом, Е, -" ос приводит нас к границе сингулярной области, которая
находится на расстоянии 0(е1/2) от х, = 0. Для внешнего решения xt = О
(е1/2) означает х1 -> 0. Итак, сращивание требует, чтобы зй; е) при Е, ->
0 переходило в f(xx; е) при Xi -> 0.
Аналогично получаем внешнее решение, приравнивая члены с одинаковыми
степенями е1/2 в (А2.9) после подстановки Y в форме (А2.17) и
использования (А2.22):
0 = -а0 - atE1/2 + (Р0 + е1/2р,)х1 +
+ (§о + 8te1/2 - [Ро + ?1/2 Pt] xt)(f0 + е1^2/)) - e{f0 +
e1/2/i)2 + 0(e);
следовательно,/0,/1( ... определяются из уравнений
0 = (Р0х, - а") + (50 - Р0хД/о - efl, (А2.28)
0 = р^! - оц 4- (5t - PiXj/o + (50 - РохД^ - 2е/^
(А2.29)
и т. д. Заметим, что это просто алгебраические уравнения для /0, fx, ....
Согласно процедуре сращивания, д0 + E1/2gt + ... (Е, ->
со) должна
гладко переходить в /0 + e1/2/i 4- ... (х, -> 0); отсюда
получаются ус-
ловия для неопределенных постоянных интегрирования в функциях gt, которые
вместе с граничными условиями при Е, = 0 полностью их определяют. Это мы
теперь сделаем систематически.
Внутренняя задача первого порядка, здесь О (1), определяется требованиями
(А2.24), (А2.26) и условием сращивания. Для удобства введем обозначение
д* = lim g0(S,) = 0о(оо);
Е, -> со
Приложение 2
341
тогда асимптотический (при е -" 0) процесс сращивания, описанный выше,
требует, чтобы
д* = 00 (°о) = lim д0($) = lim/ota) = /о(0). (А2.30)
? -? 00 Х{ = О
Отсюда, согласно (А2.28) при х1 = 0, для д* выполняется
О = ос0 - 5од* + eg*2. (А2.31)
Исследуем характер решений уравнения (А2.24), для чего обозначим д0 = и,
dgjdc, - v. Мы приходим к системе
du dv
-.= v, ~щ = - а0 + 8ом " ей2.
Соответствующее поле направлений и типичные интегральные линии показаны
на рис. А2:1, где под д* 2 понимаются корни уравнения
Рис. А2.1.
(А2.31). Однако из условия (А2.26) следует, что интересующая нас
интегральная линия должна начинаться на оси и, и потому из рис. А2.1
видно, что условие и (оо) = д* может выполняться, только если и (?,) = =
0о (5) = so (см. (А2.18)).
11 Начиная с этого места и до конца абзаца изложение автора заменено иа
более простое и короткое (с соответствующей заменой рис. А2.1).- Прим.
ред.
342
Приложение 2
Таким образом, первая (с точностью до порядка 0(1)) аппроксимация
внутреннего решения Y, а именно д0 (<;), не изменяется в пограничном, или
сингулярном, слое вблизи х4 = 0.
Теперь Sq находится с помощью условия сращивания (А2.30), которое
требует, чтобы s0 = д *; поэтому, согласно (А2.31), s0 является
подходящим решением уравнения
О = а0 - 5050 + es
Подставляя для а0, 50 и е их выражения, найденные из (А2.22) и (А2.7),
получаем из последнего уравнения
S° = к kil\- ^ Уо = -т~ - + О (е1/2).
к,с0 + к_, kjC 0 + к_ 1
Это в точности формула (2.28), которую мы получили в разд. 2.3 с помощью
другого, намного более простого, но нестрогого метода.
Анализ внутреннего решения вблизи х, = 1 проводится аналогично и дает
следующий результат:
fciCi fc. с, ,
г° = Т~ 1 )г~ ^ Yi = к \ I + кхсх + rCj сх + /с_ ^
это совпадает с выражением (2.29), полученным в разд. 2.3.
Влияние различных граничных условий (А2.2) (т.е. (2.11)) и (А2.3) (т.е.
(2.12)) проявляется только в членах порядка 0(е1/2) в асимптотических
разложениях. Для обсуждаемой здесь задачи, т.е. (А2.9), (А2.10), Митчел и
Марри (1973) получили также поправки порядка 0(е1/2).
Рассмотренный здесь строгий метод сингулярных возмущений для е " 1
обосновывает математически очень простую процедуру, описанную и
использованную в разд. 2.3. Ясно, что он не может придать биологического
смысла примененным граничным условиям. Однако основной результат данного
приложения заключается в том, что, пока е достаточно мало, например
порядка 0(Ю-4) или меньше, простой процедуры разд. 2.3 достаточно для
любых практических целей. Если нужны точные количественные результаты для
больших е, следует применять численные методы, как, например, в работе
Кучай и др. (1970). Конечно, если е " 1, мы имеем дело с простым
несингулярным возмущением, и в этом случае облегчение диффузии
обеспечивает только добавку порядка О (1/е) к обычной диффузии. Тем не
менее даже для малых значений е, превышающих те, для которых, строго
говоря, применим простой метод разд. 2.3, он все еще может с успехом
использоваться, как показано в разд. 2.4-2.6, где обсуждаются конкретные
биологические задачи.
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ДИФФУЗИИ: РЕШЕНИЯ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
В этом приложении мы кратко обсудим различные нестационарные задачи,
Предыдущая << 1 .. 129 130 131 132 133 134 < 135 > 136 137 138 139 140 141 .. 154 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed