Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Марри Дж. -> "Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях" -> 134

Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях - Марри Дж.

Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях — М.: Мир, 1983. — 396 c.
Скачать (прямая ссылка): nelineyniediferincialnieurovni1983.djvu
Предыдущая << 1 .. 128 129 130 131 132 133 < 134 > 135 136 137 138 139 140 .. 154 >> Следующая

Е = е/е, е" 1 (е = 0(Ю6)).
Здесь a, b, d и е в (А2.8) не надо путать с такими же буквами в (2.23)
гл. 2-при обозначениях (А2.7) это просто наиболее естественный переход.
Уравнение (А2.6) в обозначениях (А2.8) принимает вид
d2Y
е-=- = - а + bx, + (d - ЬхЛ У - еУ . (А2.9)
UX1
Это уравнение мы хотим решить при граничных условиях (А2.2), которые в
безразмерной форме можно записать так :
= 0 при х4 = О и xi = I. (А2.10)
dxx
Приложение 2
337
Используя тот факт, что е " 1, будем сначала искать простое несингулярно
возмущенное решение (внешнее решение) в форме
y(*i) =f(xi; е) =/0(х!) + о(1), с > 0. (A2.ll)
На этой стадии мы не можем уточнить порядок по ? членов о(1). Подставляя
(A2.ll) в (А2.9) и игнорируя члены о(1), которые включают здесь ed2Y/dx?,
получим квадратное уравнение
О = - а + bxj + (d - bx,)/0 - eJl, осмысленное (неотрицательное) решение
которого имеет вид1'
/о (*i) =
1

Заметим, что
(d - bxx)2 -4 е(а - Ьх}) = (Ьх, так как, согласно (А2.8) и (А2.7),
(d - bxt) + [{d - bx J2 - 4e(a - bxi)]1/2}.
(A2.12)
d + 2e)2 - 4e(a - d + e) > 0,
- (a - d + e)= - e(A - D + E) = -el -
k-J2
D"
> 0.
Из-за сингулярного характера возмущения дифференциального уравнения
(А2.9) мы, вообще говоря, не ожидаем, что внешнее решение/о^)
удовлетворяет граничным условиям: уравнение для f0(xy) не содержит
произвольных постоянных. Именно такой случай здесь имеет место, так как
из (А2.12), (А2.7) вытекает
dfo
dxx
х, = 0
1
2*Г
В
~2Е
Ь +
1 +
2eb - db (d2 - Лае)112
2 Е - D (D2 - 4АЕ)112
Ф о.
Мы исключаем тривиальный случай, когда с0 = ct, Y0 = Yt или k_t =0, т.е.
когда реакция необратима. Аналогично dfjdx1 # 0 при х, = 1. Таким
образом, решение (А2.12) должно переходить во внутренние решения вблизи
х, = 0 и х, = 1, удовлетворяющие граничным условиям (А2.10). В этих
областях zd2Y/dx\ должно быть порядка 0(1). Рассмотрим сначала область
вблизи xt = 0. Соответствующая растянутая
** Оба решения неотрицательны; знак плюс берется, чтобы положительным
было соответствующее (по (А2.5)) значение с.-Прим. ред.
22-612
338
Приложение 2
переменная Е, имеет вид (см. первое уравнение из (2.24) в гл. 2)
Е, = Xi/e1/2. (А2.13)
При е " 1 преобразование (А2.13) обычным образом растягивает малую
область ?)(е1/2) пространства х, в конечный интервал пространства так что
мы можем исследовать сингулярную область более детально.
Через переменную Е, уравнение (А2.9) и первое условие (А2.10) запишутся
так:
^ = - а + be1/2 ? + (d - be112 \)Y - eY2, (А2.14)
(tm) = 0, ? = 0. - (А2.15)
Теперь целесообразно рассмотреть регулярно (несингулярно) возмущенное
решение Y = д(?,; е) с Е, в качестве независимой переменной. Так как в
(А2.14) входит е1/2, решение следует искать в виде ряда по ?1/2; поэтому
запишем для внутреннего решения вблизи Х; = 0 (г; = 0)
У(х,) = д&; е) = 0О ft) + 81/20! й) + ... (А2.16)
Это решение должно удовлетворять граничному условию (А2.15) при Е, = 0 и
должно гладко переходить во внешнее решение (A2.ll) для малых, но
ненулевых xt. Уравнение (А2.14)-второго порядка, и, следовательно, каждая
из функций д0, дг. ... в (А2.16) содержит две постоянные интегрирования,
которые определяются, если потребовать, чтобы (А2.16) удовлетворяло
(А2.15) и гладко переходило во внешнее решение (A2.ll), т.е. чтобы
внутреннее решение (А2.16) сращивалось с внешним (A2.ll). Ввиду
разложения (А2.16) соответствующий ряд для (A2.ll) во внешней области при
малых е должен иметь вид
У(х,) =/(х,; 8) =/0(х1) + е^/Дх,) + .... (А2.17)
На основании (А2.16) можно написать для граничного значения
У(0) = У0 = 0(0; 8) = s0 + в1'2*, + ...,
(А2.18)
S0 = в О (0), Sl = 0! (0), ....
Заметим, что s0, slf ... еще не определены.
Для сингулярной области вблизи xt = 1 соответствующее преобразование
имеет вид (сравните с (А2.13))
(А2.19)
Приложение 2
339
(второе преобразование в (2.24)), так что г) = 0-это граница xt = 1, и
регулярно возмущенное внутреннее решение с р в качестве независимой
переменной мы берем в форме
где t0, t,, ... пока не определены. Когда г) -<• со, решение (А2.20) при
х1 -" 1 также должно гладко переходить во внешнее решение.
Ввиду (А2.18) и (А2.21) мы должны теперь разложить А, В и D в (А2.7) в
ряды по е1/2, поскольку они содержат У0 и Yt. Следовательно, a,bnd также
получаются в виде рядов по е1/2. Заметим, что Е и, следовательно, е не
содержат У0 и У,. Запишем
Для сингулярной области вблизи хг = 0 мы теперь подставим (А2.16) и
(А2.22) в (А2.14) и получим в результате
+ (80 + Si81/2 - Ро^е1/2)(0о + e1/20i) - е{д0 + е1'2^)2 + 0(e). (А2.23)
Приравнивая в (А223) члены с одинаковыми степенями е, получим для 9о, 91.
••• уравнения
У(хД = Л (г|; е) = h0 (р) + е1'2^^) + ..., (А2.20)
соответствующей (А2.16), с
У(1) = Y, = Л(0; е) = t0 + + ...,
to = М°Х t, = hj (0),
(А2.21)
еА = а = а0 + е1/2а! + ...,
еВ = b = р0 + e1/2(3i + ...,
zD = d = 50 + sl/281 + ...,
(А 2.22)
где ос;, р, и 5; все порядка 0(1). Например,
d29o
340
Приложение 2
Предыдущая << 1 .. 128 129 130 131 132 133 < 134 > 135 136 137 138 139 140 .. 154 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed