Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях - Марри Дж.
Скачать (прямая ссылка):
N - 1 N - q
+ ? (-1)*^ I \|/(4 + к) (0) рк (е) х\/к!. (А1.65)
Мы теперь потребуем, чтобы в области перекрытия сумма (А1.64) отличалась
от (А1.65) на члены порядка o(sN). Для этого будем считать прежде всего,
что постоянные ап в (А 1.65) удовлетворяют уравнениям а0 = 1 + х|/ (0) -
\|/ (1), ая = ( - 1)" |><"> (0) - (1)]. и > 1- (А1.66)
Далее, экспоненциальные члены в (А1.65) также должны быть o{eN), что
равносильно требованию
р(е)"е для N =; 0, (А1.67)
Р (е) " eN\ In е| для N ^ 1.
Последнее условие вытекает из того, что для фиксированного конечного хр
мы должны иметь
е-т\/? = о(г\
откуда
- Р(е)х /е - N lln е|
е * " е 1
Наконец, те члены двойных рядов в (А1.64), которые не присутствуют в
(А1.65), должны быть также порядка o(s,v). Доминирующим является член си
= 0ит = АГ+1, поскольку увеличение т при постоянном п связано с
умножением на Р(е)" 1, а увеличение п при соответствующем уменьшении т
связано с умножением на е/Р(е) " 1. Поскольку доминирующий член имеет
множитель рЛ +1 (е), получаем
p;V +1 (е)" еЛ ^ Р (е)" e;V/(,v + п
Приложение 1
323
в качестве последнего требования, достаточного вместе с (А1.67). Итак, мы
можем теперь описать область перекрытия для сращивания до (N + 1)-го
члена с помощью промежуточного преобразования х = Р (е, N) хр:
еЛГ | In е | " р(е, N)"eWJV + 1),
где 7V | in е | при N = 0 заменяется на 1. Окончательно, мы показали, что
в промежуточном пределе е -" 0 с фиксированным хр внутреннее и внешнее
разложения идентичны до (N + 1)-го члена. Заметим, что при сращивании до
одного члена (N = 0) областью перекрытия служит вся промежуточная
область. Когда N возрастает, область перекрытия уменьшается, что, по-
видимому, и следовало ожидать. Сращивание происходит нормально при каждом
конечном N, пока существует некоторая область перекрытия.
Составное разложение ис может быть теперь получено с помощью (А1.51),
(А1.57) и (А1.62), где ап (п ^ 0) заданы формулами (А1.66). Чтобы
проиллюстрировать его построение, детально получим его до членов порядка
0(e). Согласно (А1.51), где ф"(е) = е", имеем
мс ~ К М + eui (*)] + [й0Й) + (?)] -
- [М"?) + ей !("?)] =
= [{1 + ф(х) - ф(1)} - е{ф'(х) - ф'(1)}] +
+ [{(1 + ф (0) - ф (1)} (1 -e"t) +
+ е{ф'(0)^ - (ф'(0) - ф'(1))(1 - в"*)}] -
- [{1 + ф("?) - ф(1)} - е{ф'("Ф - ф' (1)}].
В последних квадратных скобках представим теперь ф (е?.) рядом Тейлора в
виде ф(0) + е^ф'(0) + ..., а ф'(е?> в виде ф'(0) + е?ф"(0) + ... и после
простых преобразований получим окончательно
ис ~ {ф (х) - ф (0)} - е {ф' (х) - ф' (0)} +
+ [(1 + ф(0) - ф(1)) - е(ф' (0) - ф' (1))] (1 - е~П (А1.68)
Это решение является равномерным асимптотическим разложением до членов
порядка 0(e) при е -*¦ 0 для всех 0 < х < 1.
В приложении 2 мы подробно обсудим нетривиальный пример сингулярного
возмущения, возникающий в конкретной биологической задаче гл. 2.
Соответствующее этому случаю изложение метода сингулярных возмущений
можно читать независимо от гл. 2.
2Г
324
Приложение ±
А1.4. Асимптотический метод для систем уравнений первого порядка
В химической кинетике как результат применения закойа действующих масс
автоматически возникают системы уравнений первого порядка; предыдущие
главы содержат много таких примеров. При этом в практических задачах,
соответствующим образом приведенных к безразмерному виду, при некоторых
производных часто стоят множителями малые параметры, и мы используем этот
факт при получений приближенных (асимптотических) решений. Изложенное
ниже имеет непосредственное отношение к системе уравнений ферментативной
кинетики гл. 1. Настоящий раздел содержит описание основного и строгого
метода вывода таких асимптотических решений. Он является также
альтернативным строгим методом для некоторого класса задач с начальными
данными для систем дифференциальных уравнений выше первого порядка,
поскольку любую такую систему всегда можно записать в виде системы
первого порядка.
Рассмотрим здесь для простоты только автономную систему двух уравнений
для x(t; е) и y(t; е) вида
где / и д- бесконечно дифференцируемые функции х и у. Мы хотим найти
равномерно пригодные асимптотические решения для t ^ 0 при е} О и
заданных начальных значениях
где (снова лишь для простоты алгебраических выкладок) мы считаем х0 и у0
не зависящими от ?.
Системы более высокого порядка в общем виде обсуждаются в работе А. Б.
Васильевой (1963)1>. Вполне доступное и практичное изложение для более
общих неавтономных систем двух уравнений содержится в книге О'Маллея
(1974), на которой основано последующее описание.
Если мы применим к (А1.69) и (А1.70) (несингулярный) предельный переход е
-> 0, эти уравнения примут вид
(А1.69)
(А1.70)
х (0; е) = х0, у(0;е) = уо,
(А1.71)
~гг = /(*¦ У), 0 = д (х, у)
(А1.72)
11 См. также книгу А.Б. Васильевой, Б.Ф. Бутузова (1973)*.-Прим. ред.
Приложение 1
325
с соответствующим начальным условием из (А1.71)
х (0) = х0. (А1:73)
Будем считать (и обычно это так в практических задачах; см. гл. 1)
