Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях - Марри Дж.
Скачать (прямая ссылка):
связанные с уравнением диффузии, решения которых использованы в гл. 3. В
разд. А3.1 и АЗ.2 рассмотрены конкретные задачи, а в разд. АЗ.З изложен
метод автомодельных решений для некоторого специального, но часто
встречающегося класса задач.
А3.1. Двумерная осесимметричная диффузия
Математическая задача имеет здесь вид (3.18) гл. 3 и требует решения
дифференциального уравнения
'¦'""I i(-t) <АЗЛ|
с граничными условиями
дс
с (a, t) = 0, -- = 0 при г = b, t ^ О (АЗ.2)
дг
и начальным условием
с (г, 0) = с0, а < г < Ь, (АЗ.З)
где D(2)-постоянный коэффициент диффузии, а с (г, t)-концентрация.
Условия (А3.2) говорят о том, что цилиндр г = b представляет собой
идеально отражающую поверхность, а цилиндр г = а-идеально поглощающую.
Эту задачу можно решить несколькими обычными методами-разделением
переменных, преобразованием Лапласа или с помощью функции Грина. В любой
данной задаче выбор конкретного метода часто диктуется специфическими
требованиями, предъявляемыми к анализу задачи. Например, если нам
требуется с (г, t) только для малых значений t или только для больших t,
то наилучшим методом, по крайней мере в первом случае, представляется
применение преобразования Лапласа, так как при этом можно воспользоваться
хорошо разработанными асимптотическими методами; такие методы обсуждаются
в книге Марри (1974), где специально рассмотрены интегралы этих
преобразований. Если решение требуется более или менее для любого мо-
344
Приложение 3
мента времени, вопрос о выборе метода остается открытым и часто является
делом личного вкуса.
Для задачи (А3.1)-(АЗ.З) может быть использован любой метод-все они
алгебраически громоздки, но просты. В книге Карслоу и Егера (1959) целая
глава (гл. 14) посвящена применению к таким линейным уравнениям диффузии
функций Грина. В частности, там практически решена задача (АЗ,1)-(АЗ.З),
и детали решения читатель может найти в указанной книге. Мы приведем
здесь лишь результаты, которые позволят нам вывести величины,
используемые в гл. 3.
При решении задачи
функция Грина для единичного источника частиц, испускаемых в момент
времени t = 0 в круговом кольце г = г', где а < г' < Ь, имеет вид (см.
Карслоу и Егер (1959), с. 370)
Здесь J", Yn, п = 0, 1- функции Бесселя первого и второго рода, а
Задача (А3.1)-(АЗ.З) отвечает однородной концентрации частиц с0,
испускаемых в момент времени v= 0 во всей области а < г < Ь; поэтому ее
решение с (г, t) выражается интегралом от v(r, t; г') из (АЗА) по всей
области, т.е.
Г 11
v, = D* ' v" + - vr , v (a, t) =
дг )г = ь
00
S(r,y")S(r',y")e~ ь2"\ (АЗА)
Dmyi
п = 1
где уп-положительные корни уравнения
Jo (ЭД *1 (у) - Y0 (ky)J1 (у) = 0, к = а/Ь.
(АЗ.5)
Р(Уп) = [70(fcy")]2 - [7, (у")]2,
S (г, У") = Го {ynr/b)Jo (куп) ~ Jo (УпФ) Г0 (куп).
(АЗ.6) (А3.7)
ъ
с (г, t) = с0 J 2nr'v (г, г; г')dr'.
(А3.8)
а
Поскольку
Приложение 3
345
и такое же соотношение выполняется для Y0(r), то интеграл I" = j 2кг'S
(/, yjdr' =
а
Ъ
= 27t J {J0 (kyn)r' Y0 (уИг'/Ъ) - Y0 (ky")r' J0 (y"r'/b)} dr' =
= 2я( - ) Uoikyn)
Уг (У//Ь)
Yoiky^^ J^y/b) J =
(A3.9)
= 2lt J {>'" [,o(W Yi (>'-) " Yo (kyJJi (>'")] + + ky" [У0 (ky") Yi (kyn)
- J0 (ky") Y, (fcy")]} =
Vn)
где использованы (A3.5) и следующее соотношение (см., например, Абрамовиц
и Стиган (1965)):
- = J0 (z) У0' (z) - Jq (z) У0 (z) = - J0 (z) У, (z) + J, (z) У0 (z). яг
Подставляя (A3.4) в (A3.8) и используя (АЗ.9), получаем решение задачи
(А3.1)-(АЗ.З) в виде
;(,,) = Со* УГ*.^
4 LY Ь F(y") J
S(г, =
00
=c""Z[w]s(r',,',e'ip{-
D^yl b2
Д. (A3.10)
Число частиц p(t), находящихся в области а < г < Ь, выражается формулой
(сравните с (3.1))
346
Приложение 3
которая после подстановки в нее с (г, t) из (АЗ. 10) и повторного
использования (А3.9) дает
Эти выражения были использованы в уравнениях (3.19) и (3.20) разд. 3.3
(и) с добавлением верхних индексов 2 к p(t) и Ап.
А3.2. Трехмерная радиально-симметричная диффузия вй<г<!>
Эта задача описывается так (см. формулы (3.26)):
Оболочка г - Ъ является идеально отражающей, а г = а-идеально
поглощающей. Используя ту же процедуру, что и в разд. А3.1, мы должны
начать с решения и (г, f, К) для единичного источника частиц, испускаемых
в момент времени t = 0 на сферической поверхности радиуса V, где а < г' <
Ь. Карслоу и Егер (1952, с. 367) получили решение этой задачи в виде
00
p(t) = Р(0) ? А"е
(АЗ.11)
После применения формулы (А3.6) для F (у") получаем
А" у\ (1 - к2) Vo (куЛ2 ~ Vi (Уп)]2 '
ь^
р(0) = с0я(62 - а2), ^ = ,
Уп
4 [7, (У")]2
(АЗ. 12)
(АЗ. 13)
с (a, f) = 0, - = 0 при г = b, t ^ 0,
(АЗ. 14)
с (г, 0) = с0, а < г <Ъ.
(АЗ. 15)
где х"-положительные корни трансцендентного уравнения
xctg(l - к)х = 1, к = а/b, (АЗ.17)
Приложение 3
347
(1 + х2)1/2 sin (~~~д~ xnj
Ь1/2 [(1 - к)(1 + х"2) - 1]г
R"(r)= ,шт f.wГ I ,.2\ 1 "л/2 (АЗ. 18)
Наша задача отвечает однородному распределению с = с0 при t = О для всех
а < г < Ъ, поэтому ее решение имеет вид (сравните с (А3.8))
