Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях - Марри Дж.
Скачать (прямая ссылка):
ограничиться классом задач сингулярного возмущения, связанных с
получением асимптотических разложений решений уравнения (А1.101) при е ->
0. Рассмотрим здесь только те функции /(х; е), которые отличны от нуля
для всех х в интересующей нас области. Если /(х; е) = 0 для некоторого х
в этой области, то у уравнения будет точка перехода (поворота); пример
этого описан в книге Марри (1974). Настоящий раздел основан на изложении,
приведенном в указанной книге.
Предположим в иллюстративных целях, что/(х; е) имеет асимптотическое
разложение при е -" 0 вида
ей" + ер(х; е)м' + q(x; е)м = 0, где штрих означает дифференцирование по
х. Если написать
м(х; е) = w(x; е)е
дифференциальное уравнение примет вид
ew" + /(х; e)w = 0,
(А1.101)
/(х; е) ~ ф0 (х) + еф! (х) + ..., е -> 0, (А1.102)
332
Приложение 1
где ф"(х), п = О, 1, 2, суть дважды дифференцируемые функции х в
интересующей нас области. По мере демонстрации метода будет ясно, как
можно его использовать, если разложение /(х; е) основано на общей
асимптотической последовательности, а не просто на {е"}.
Решениями уравнения (А1.101), когда/-постоянная, являются экспоненты с
вещественными или комплексными показателями. Поэтому и в том случае,
когда / не постоянная, можно попытаться искать решения (А1.101) в виде
экспоненты
w(x; е) ~ exp[g0(e)\j/0(х) + (х) + ...], е -> О, (А1.103)
где {д" (е)}, п = 0, 1, 2, ...,-асимптотическая последовательность при е
-> 0, а ф"(х), п 0-дважды дифференцируемые функции х. Таким образом,
задача состоит в определении функций дп(е) и ф"(х) для п - = 0, 1, ....
Подставив (А1.103) в (А1.101) и используя (А1.102), мы получим, после
деления на экспоненту,
? X вп (?) + ? ( X 9"(?)Ф^)2 + X е"ф"М~0, е ->¦ 0. (А1.104)
л = 0 п = 0 п = 0
Определим теперь последовательности {д" (е)} и {ф" (х)} для п = = 0, 1,
2, .... Согласно (А1.104), для членов порядка 0(1) имеем
?0о (еЖ2 + Фо ~ О,
откуда следует, что
4 х _
во (?)=^17Г> Фо2 + Фо~0^ Фо (х) = ± 1J J/фо (s) ds. (А1.105)
Для следующих членов, порядка 0(е1/2), получаем е1/2ф" + 2zi/2g1 (8)ф0'ф;
~ О, откуда, используя (А1.105), найдем
д/е) = 1, ф" + гф^ф/ ~ 0 ф! (х) = - 741пф"(х). (А1.106)
С помощью (А 1.105) и (А 1.106) получаем, что следующие члены в (А1.104)
имеют порядок О(е), откуда находим д2 (е) = е1/2 и ф2(х) и т.д. Поэтому
асимптотическая последовательность {дп{е)} имеет вид |е(л- i)/2^ и = о,
1, 2, ..., а асимптотическое разложение решения w(x; е) при е -> 0 с
учетом (А1.103), (А1.105), (А1.106) дается выражением
i х ,------ 1
w(x; е) ~ exp ± J|Ap0(s)<is - - 1пф0(х) + 0(е1/2)
1
[фо (*)]
1 /4 еХР
j X
± Т7/Гil/фо(s)ds + 0(е
1/24
(А1.107)
Приложение 1
333
Альтернативная форма, подчеркивающая наличие двух произвольных
постоянных, имеет вид
W(x; Е) ~ [ф0(!с)]1/4 Г-4 cos {^Т72- f l/ф^)^ + 0(е1/2)1 +
(А1.108)
+ В sin {-щ- j l/фо (s) ds + 0(e1/2l
где А и В-произвольные постоянные, определяемые граничными условиями
задачи. Выбор конкретной формы (А1.107) или (А1.108) для данной задачи
обычно диктуется знаком ф0(х), который в силу исходного
требования отличия f(x\ е) от нуля для любого х не меняется. Если ср0(х)
< 0, то l/фо (х) = i ]/|ф0 (х)|, и более удобно выражение (А1.107) с
вещественными показателями. Если ф0(х) > 0, обычно удобнее взять
(А1.108).
Изложенный метод и некоторые его обобщения подробно обсуждаются в
упомянутой книге Марри (1974); там же разобрано несколько примеров.
ЛИТЕРАТУРА
Ван-Дайк (Van Dyke М.)
(1975) Perturbation methods in fluid dynamics.-Parabolic Press,
Stanford (first edition 1964, Academic Press, N.Y.). [Имеется перевод:
Методы возмущений в механике жидкости,-М.: Мир, 1967.]
Васильева А. Б.
(1963) Асимптотика решений некоторых задач для обыкновенных
дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной.-
Успехи матем. наук, т. XVIII, № 3, 15-456.
Васильева А. Б., Бутузов Б. Ф.
(1973)* Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных
уравнений.-М.: Наука.
Коул- (Cole J.D.)
(1968) Perturbation methods in applied mathematics.-Ginn (Blaisdell),
Boston. [Имеется перевод: Методы возмущений в прикладной математике,-М.:
Мир, 1972.1
Лин, Сиджел (Lin С. С., Segel L. А.)
(1974) Mathematics applied to deterministic problems in the natural
sciences-Macmillan, N.Y.
Ломов С. A.
(1981)* Введение в общую теорию сингулярных возмущений-М.: Наука.
Марри (Murray J. D.)
(1974) Asymptotic analysis.-Clarendon Press, Oxford.
Найфэ (Nayfeh A. H.)
(1973) Perturbation methods-Wiley, N.Y. [Имеется перевод: Методы
возмущений.-М.: Мир, 1976]
О'Маллей (O'Malley R. Е.)
(1974) Introduction to singular pertirbations.-Academic Press, N.Y.
Эрдейи (Erdelyi A.)
(1961) An expansion procedure for singular perturbations.-Atti.
Accad. Sci. Torino, Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. 95, 651-672.
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ И ОБЛЕГЧЕННАЯ ДИФФУЗИЯ: МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Это приложение непосредственно связано с вопросом о граничных условиях,
приемлемых для правильного аналитического асимптотического решения
