Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
&-полу точным, если точна каждая последовательность Т (А) -+-Т (В) -*• Т (С).
Если функтор Т сР-точен, то он переводит собственные мономорфизмы в мономорфизмы, собственные эпиморфизмы в эпиморфизмы и собственные длинные точные последовательности в длинные точные последовательности. Кроме того, для любого собственного морфизма а и аГ-точного функтора Т
Т (ker а) = ker (Та), Т (im а) = im (Та);
Т (coker а) = coker (Га), Т (coim а) = coim (Та).
Точные справа функторы могут быть описаны несколькими эквивалентными способами. Под собственной точной справа последовательностью категории # мы будем понимать последовательность вида (а, о) : D -*• В -*¦ С -*• 0, точную в В и С, с собственными морфизмами а и а.
Лемма 7.1. Ковариантный аддитивный функтор Т &-точен справа тогда и только тогда, когда или
(i) Т переводит собственные точные справа последовательности из А в точные справа последовательности в М, или
(ii) Т (coker а) = coker (Га) для каждого собственного морфизма а из
Доказательство. Поскольку равенство coker а = а означает, что последовательность (а, а) точна справа, условия
(i) и (ii) эквивалентны, и из них следует, что функтор Т &Р-точен справа. Обратно, пусть Т &Р-точен справа. Каждая собственная точная справа последовательность D ->• В С 0 из А порождает две собственные короткие точные последовательности
К
X
D
i
О—> А —> В—> С—* 0;
§ 7. Связанные пары аддитивных функторов
483
Т переводит каждую из них в точную справа последовательность в М, так что последовательность Т (D) —Т (В) -*-Т (С) точна справа.
Аналогично функтор Т cF-точен слева тогда и только тогда, когда Т (кег а) = кег (Та) для собственного морфизма а.
Если Т: fr -> М контравариантный функтор и если рассматриваются все собственные короткие точные последовательности Л >-> В -» С из fr, то Т называется
сЯ-точным, если точна в М каждая последовательность О Т (С) -х Т (В) -> Т (Л) ->• 0;
сР-точным справа, если точна каждая последовательность Т(С) -*-7’(В) -+Т(А) -+0;
сР-точным слева, если точна каждая последовательность
0 -у Т (С) Т (В) -*¦ Т (А);
аР-по л уточным, если точна каждая последовательность Т (С) -+Т(В)-+Т(А).
Справедлив аналог леммы 7.1; в частности, функтор Т сР-точен справа тогда и только тогда, когда он переводит каждую собственную точную слева последовательность из fr в точную справа последовательность в Л.
связанной парой (S, ?», Т) ковариантных функторов называется пара функторов S, Т : fr -*¦ М вместе с функцией, которая сопоставляет каждой собственной точной последовательности Е: А >-» В -» С из fr морфизм ?* : S (С) -*• Т (А) из М таким образом, что любой морфизм (а, р, у) : Е -*•?' собственных коротких точных последовательностей порождает коммутативную диаграмму
S(C) ^> Т{А)
|s(V) ^ |т<а) (7.2)
S(C')%T(A'), Л
(в отмеченной категории ffl). Назовем ?„ связывающим морфизмом пары. Условие (7.2) означает, что Е0 — естественное преобразование функторов аргумента Е. Это условие может быть заменено тремя отдельными требованиями:
Если последовательность Е конгруэнтна последовательности Е', то ?* = ?*. (7.2а)
Если у то (Ey)* = ?*Y*. Y* = S(y)- (7.2b)
Если а: Л—»Л', то (а?)„, = а*?„,, а* = 7’(а). (7.2с)
Действительно, из (7.2) при а = 1 и у = 1 следует (а). Если
(1, р, у) : Е Е', то Е'у по определению равняется Е, поэтому
31*
484
Гл. XII. Производные функторы
из (7;2) следует (Ь). Двойственно из (7.2) при у = 1 вытекает (с). Обратно, если выполнены условия (а), (Ь) и (с) и если (а, (J, у) : Е -*• то конгруэнция аЕ = Е'у из предложения III.1.8 доказывает справедливость (7.2).
Если последовательность Е0 расщепляется, то (Е0). = 0. В самом деле, если последовательность Е0 расщепляется, то морфизм (1д, Л1, 0) отображает Ео в последовательность А >* А -» 0. Поскольку функтор S аддитивен, S (0) = 0, так что из (7.2) получаем 0 = S (0) = Т (1) (Ео). = (Ео),-
Для каждой собственной последовательности Е : А >* В -» С длинная последовательность
S (Л) —S (В) S (С) Т (А) —% Т (В) Т (С) (7.3)
является комплексом в М (произведение любых двух последовательных морфизмов равно нулю) и функтором аргумента Е. Действительно, запишем Е = (х, а); последовательности х? и Ео расщепляются, поэтому Т (х) Е* = 0, E.S (а) — 0 и S (a) S (к) = = S (ox) = S(0) = 0.
Например, если & — категория /^-модулей, & — класс всех коротких точных последовательностей, то функторы S (Л) = = Torn+1 (G, А) и Т (Л) — Тог„ (G, А) при фиксированных G и п образуют связанную пару с обычным связывающим гомоморфизмом.
Морфизмом (/, g) : (S', Е#, Т') -*(S, Е*, Т) связанных пар называется такая пара естественных преобразований f: S' -*¦ -+-S, g : Т' -*Т функторов, определенных в категории &, что диаграмма
