Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
из 31. Правила умножения ? (?7) = ?(?)? (7) и ? (а?) = = ? (а) ? (?) показывают, что эти морфизмы Еп удовлетворяют условиям (7.2а), (7.2Ь) и (7.2с), при выполнении которых пара (Tn, En, Tn-1) становится связанной. Таким образом, ? определяет положительную еР-связанную последовательность функторов {Тп : & -*Л}.
Обратно, каждая такая связанная последовательность функторов определяет функции ? (Л) = {Тп (Л)} и ? (а), ? (?) для морфизмов степени 0 и 1 в t$>. Теперь морфизм более высокой степени в $ до — это в точности класс конгруэнтности длинных точных последовательностей S. Каждая такая последовательность является произведением Ионеды коротких точных последовательностей ?, так что функция $ (?) определяет каждый морфизм ? (5); правила (7.2а), (7.2Ь) и (7.2с) показывают, что две конгруэнтные длинные
492
Гл. XII. Производные функторы
точные последовательности определяют один и тот же морфизм ? (5); действительно, этот морфизм ? (5) является «итерированным связывающим гомоморфизмом», определенным длинной точной последовательностью S. Наконец, чтобы убедиться в аддитивности функтора X, мы должны доказать, что ? (Е + Е') = = ?(?) + ? (?'). Это вытекает из определения сложения Е + Е' = = V а (Е © Е') А с и правила (Е © Е')„ а* Еп © Е’„ для связывающих морфизмов, которое является следствием условия (7.2) для связанных пар.
Тем самым установлено указанное в теореме взаимно однозначное соответствие. То же самое применимо к отображениям:
Предложение 8.2. Если¦ ?', (&) есть два
ковариантных функтора, то естественное преобразование f : ?'
-v % степени d является семейством естественных преобразований {fn : Тп Tn+d : & ,Щ, которые коммутируют со всеми свя-
зывающими морфизмами:
Tn+d (Е) fn (С) = /„-! (А) Т'п (Е), Е:А»В-»С. (8.2)
Другими словами, для d = 0, f есть цепное преобразование комплекса (8.1) для функтора ?' в такой же комплекс для ?.
Ковариантный функтор ? : %$> (.#) ->¦ $+ называется юоуни-версальным, если для каждого ковариантного функтора ?' '.%$>(&)-+¦&* и для каждого естественного преобразования /о : Г; Г0 функторов, определенных в & на компонентах степени 0, существует единственное естественное преобразование f : ?' ->-? степени 0, продолжающее /0. Другими словами, коуни-версальная положительная связанная последовательность ковариантных функторов — это последовательность, начинающаяся с функтора Т0, продолжающаяся влево и коуниверсальная для всех таких связанных последовательностей. Значит, Т0 однозначно с точностью до естественного изоморфизма определяет ?.
Теорема 8.3. Пусть в категории достаточно проективных объектов. Ковариантный функтор ? : (<#-) ,$+ коуни-
ве реален тогда и только тогда, когда для каждой собственной короткой точной последовательности К ^ Р С из & с собственным проективным объектом Р последовательность
О—(С)Tn_i (К) ->Tn.t (Р), М, (8.3)
точна для каждого п > 0.
Доказательство. Если выполнено это условие и дан некоторый функтор ?': (Л) -*¦ Л+ вместе с некоторым есте-
ственным преобразованием f0 : Т'0-+-Т0, то мы построим рекурсией
§ 8. Связанные последовательности функторов
493
по п требуемые естественные преобразования fn : ТЦ -> Тп. Если уже построены /0, . . fn-ь коммутирующие со связывающими гомоморфизмами, то условие (8.3) показывает в силу теоремы 7.2, что пара (Тп, Еп, Тп^) коуниверсальна слева, поэтому можно построить единственное преобразование fn '¦ Т'п -+ Тп, для которого Enfn = fn-iE'n- Следовательно, функтор X коуниверсален.
Обратно, предположим, что функтор % коуниверсален. Исходя из Т0, мы построим левый сателлит S± и, продолжая, построим каждый функтор Sn '¦ & как левый сателлит функтора Sn-i-Результирующая связанная последовательность удовлетворяет условию (8.3) и, следовательно, коуниверсальна; поэтому она должна совпадать с единственным коуниверсальным функтором ? для данного функтора Т0. Следовательно, любой коуниверсальный функтор ? удовлетворяет условию (8.3). Это доказательство устанавливает также теорему существования.
Теорема 8.4. Пусть в А достаточно собственных проективных объектов. Каждый ковариантный функтор Т0 : является компонентой степени 0 для коуниверсального функтора % : Шд> (&) -+М+, п-я компонента Тп которого есть п-й итерированный левый сателлит функтора Т0.
Поскольку последовательность 0 >* Р -» Р точна для каждого собственного проективного объекта, из условия (3.3) следует Тп(Р) = 0 для каждого п > 0. В теореме 8.3 содержится более слабый результат.
Следствие 8.5. Если функтор % удовлетворяет условию Тп (Р) — 0 для каждого проективного Р и для каждого л > 0 и если длинная последовательность (8.1) точна для каждой собственной точной последовательности Е из &, то ? коуниверсален.
В частности, если ,#¦ —категория всех левых модулей над некоторым кольцом R и если G — фиксированный правый R-модуль, то теорема V.8.5 утверждает, что функторы Тп (Л) = Tor” (G, А) удовлетворяют этому условию.
Следствие 8.6. Если функтор U : М М' точен и кова-риантен, а {Тп, Еп) — коуниверсальная положительная связанная последовательность, то такова же и последовательность {UTn, UEn).
